有多少组 4 个数使得它们的 xor 等于 0？答案

【问题标题】：How many sets of 4 numbers are there such that their xor is equal to 0?有多少组 4 个数使得它们的 xor 等于 0？
【发布时间】：2017-08-29 04:18:53
【问题描述】：

我有两个非负整数 x 和 y，它们都最多有 30 位（所以它们的值大约是 10^9）。

我想计算有多少组 4 个数字 {a_1, a_2, a_3, a_4} 使得 a_1 + a_2 = x 和 a_3 + a_4 = y 并且所有这 4 个数字的 xor 等于 0 .

解决这个问题的最快算法是什么？

我能想到的最快的方法是将 xor 方程重新排列为 a_1 xor a_2 = a_3 xor a_4。

然后我可以计算所有左侧的值在O(x)中，右侧的值在O(y)中，所以整个算法在O(x + y)中运行。

【问题讨论】：

此链接可以帮助您满足您的要求：- codechef.com/JULY12/problems/GRAYSC
其实和我的问题没有太多共同点。
是的，但您可以计算所有与数字相关的内容。

标签： algorithm dynamic-programming combinatorics xor bitwise-xor

【解决方案1】：

设N(x, y) 为该问题的解数。显然N(0, 0) 是 1，因为唯一的解是 (0, 0, 0, 0)。如果 x 或 y 为负数，则没有解决方案，因为我们要求 a1、a2、a3、a4 都是非负数。

否则，我们可以继续求解最低位，并生成递归关系。让我们写 n:0 和 n:1 来表示 2n+0 和 2n+1（所以 0 和 1 是最低位）。

然后：

N(0, 0) = 1
N(-x, y) = N(x, -y) = 0
N(x:0, y:0) = N(x, y) + N(x-1, y) + N(x, y-1) + N(x-1, y-1)
N(x:0, y:1) = N(x:1, y:0) = 0
N(x:1, y:1) = 4 * N(x, y)

要查看这些，必须考虑任何 a1、a2、a3、a4 的可能低位。

首先N(x:0, y:0)。我们需要 a1+a2 的低位为 0，这意味着 a1 和 a2 要么都是偶数，要么都是奇数。如果它们都是奇数，则存在进位，并且较高位的总和加上 1 必须与 x 的较高位相加。相同的逻辑适用于 a3、a4。有 4 种可能：a1、a2、a3、a4 的所有低位为 0，a1、a2 的低位为 1，a3、a4 的低位为 1，a1、a2、a3、a4 的低位为 1。 4 例。

其次是N(x:0, y:1) 和N(x:1, y:0)。如果一个和为偶数，另一个为奇数，则没有解决方案：可以检查每个组合的 a1、a2、a3、a4 的最低位以找出答案。

第三个N(x:1, y:1)。 a1 和 a2 中的一个必须是奇数，同样，a3 和 a4 中的一个也必须是奇数。这有 4 种可能性，在任何情况下都没有进位。

这是一个完整的解决方案：

def N(x, y):
    if x == y == 0: return 1
    if x < 0 or y < 0: return 0
    if x % 2 == y % 2 == 0:
        return N(x//2, y//2) + N(x//2-1, y//2) + N(x//2, y//2-1) + N(x//2-1, y//2-1)
    elif x % 2 == y % 2 == 1:
        return 4 * N(x//2, y//2)
    else:
        return 0

该算法进行多次递归调用，因此理论上是指数级的。但在实践中，许多分支会很快终止，因此代码运行速度足够快，可以处理高达 2^30 的值。当然，你可以添加缓存或者使用动态规划表来保证 O(log(x)+log(y)) 的运行时间。

最后，为了提高正确性的信心，这里有一些针对简单 O(xy) 解决方案的测试：

def N_slow(x, y):
    s = 0
    for a1 in xrange(x + 1):
        for a3 in xrange(y + 1):
            a2 = x - a1
            a4 = y - a3
            if a1 ^ a2 ^ a3 ^ a4:
                continue
            s += 1
    return s

for x in xrange(50):
    for y in xrange(50):
        n = N(x, y)
        ns = N_slow(x, y)
        if n != ns:
            print 'N(%d, %d) = %d, want %d' % (x, y, n, ns)

【讨论】：