用分数背包法求解背包

Question

有两个众所周知的背包问题：

1) 给定n 项目，每个项目都有其weight 和cost。我们需要选择适合我们背包并且总成本最高的物品。使用dynamic programming可以轻松解决。

2) 碎片背包：和第一个一样，但我们不能只带整个项目，而是它的一部分。这个问题可以通过greedy algorithm轻松解决。

假设我们使用第二个问题中的greedy algorithm 来解决第一个问题。我如何证明我们将得到的解决方案比最优解决方案差不超过两倍？

Answer 1

据我所见，贪婪的解决方案可以随心所欲地低效。 想象一下，你有一个容量为1 和两个（n = 2）物品的背包：

item weight cost density
------------------------
   A      ε    ε       1  <- greedy choice
   B      1  1-ε     1-ε  <- optimal choice

所以当最优解为 以B 和1-ε 为代价。选择的（贪婪）解决方案是

  (1-ε)/ε = 1/ε - 1 

比最佳效率低几倍。使ε 尽可能少（比如ε = 1e-100），并有一个非常低效的贪婪解决方案。

编辑：仅在整数值的情况下，只需缩放上面的示例：您有一个容量为X 和两个 (n = 2) 物品的背包

item weight cost density
------------------------
   A      1    1       1  <- greedy choice
   B      X  X-1   1-1/X  <- optimal choice

在这种情况下，贪婪的解决方案是

   (X - 1) / 1 = X - 1

比最佳效率低几倍。最后，使X 足够大（比如X = 1e100）