背包问题——递归解法解释答案

【问题标题】：Knapsack Problem - Recursive solution explanation背包问题——递归解法解释
【发布时间】：2019-03-31 00:12:48
【问题描述】：

我无法理解这种幼稚的递归解决方案如何以及为何起作用。如果我是第一次遇到这个问题，我会考虑对所有可能的组合进行详尽的搜索（迭代地），最后记录并返回最大值。有人可以解释一下这个解决方案吗？

来自 CSDojo 的代码

【问题讨论】：

标签： algorithm recursion dynamic-programming knapsack-problem

【解决方案1】：

此解决方案有效，因为逻辑合理。让我们把这个逻辑写成文字：

容量C 的最大值，使用第一项到nth 项中的任何一项：

def KS(n, C):

如果我们没有使用任何物品或者我们没有容量，那么我们的价值为零：

If n == 0 or C == 0:
  result = 0

否则，如果此（nth）项目的重量大于此容量（C），则使用我们在此容量（C）没有此项目时可以获得的最佳结果。这就是Max value for capacity C, using any of the first to (n-1)th items 的解决方案（请记住，当前计算正在寻找KS(n, C)，因此我们不允许使用列表中nth 之后的任何项目）：

else if w[n] > C:
  result = KS(n - 1, C)

否则，让我们决定是否应该使用这个项目：

else:

如果我们不使用nth 项，这与我们之前的可能性相同：Max value for capacity C, using any of the first to (n-1)th items 的解决方案：

  tmp1 = KS(n - 1, C)

如果我们确实使用它，由于当前计算正在寻找容量 C 的解决方案，让我们将当前值 v[n] 添加到我们使用之前的任何 n-1 项目的解决方案中，但具有容量C - current_weight 与当前重量w[n] 一起，我们将展示仍然保留容量的解决方案C：

  tmp2 = v[n] + KS(n - 1, C - w[n])

选择较高的值：

  result = max{ tmp1, tmp2 }

为我们当前的参数返回正确的结果：

return result

递归可能有点违反直觉。调用KS(n, C) 将产生一大堆对“早期”参数n - 1、n - 2 等的调用，并且容量更低，这使得这些调用看起来像是发生在在初始之后称呼。但实际上KS(n, C) 正在等待所有这些完成以回答它自己的计算，因此我们可以准确地说它是在“早期”参数调用之后发生的。当参数值一致时，它们中的许多可能会重复，这就是为什么缓存它们以加快例程的速度。

将n, C 视为公式的“搜索空间”也很有用。这意味着我们实际上仅限于n * C 不同的参数组合。这就是为什么一些递归，比如背包，经常被列成对n和C的迭代（例如嵌套的for循环）。

【讨论】：

感谢直观的解释！有没有办法捕获元数据？（在数组 [0,1,1,...] 中选择了哪些项目与未选择 {1,0}）
@jbuddy_13 是的。由于我们在任何时候都知道我们是否选择了该项目，因此我们可以存储它。但不是全局的——它需要在递归中返回，以及最佳值。
嗯，这是我失败的尝试：stackoverflow.com/questions/63303533/…

【解决方案2】：

此方法可能会执行穷举搜索。

它是分支和边界启发式的实现，其中 if 条件会切断当前分支，因为它不能进一步增长。

如果没有切割算法为所有可能的子集构建完整的二叉树（tmp1 和 tmp2 是选择 - 我们是否使用当前项目）

【讨论】：

【解决方案3】：

该解决方案基本上尝试将项目n 放入（仅当它仍然适合时）或将其排除在外，然后尽可能好地放入剩余的项目（递归调用）。这给出了两个值 tmp1 和 tmp2。然后取其中的最大值。

【讨论】：