从具有最大面积的 n 个子集中找出 k

Question

我有n 点并且必须找到k 点之间的最大联合区域（k <= n）。因此，它是这些点面积的总和减去它们之间的公共面积。

]1

假设我们有n=4, k=2。如上图所示，面积是从每个点到原点计算的，最终面积是B面积与D面积之和（只计算它们相交的面积一次）。没有一点被支配

我已经实现了一个自下而上的动态规划算法，但它在某处有错误。这是打印出最佳结果的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

typedef struct point {
    double x, y;
} point;
struct point *point_ptr;

int n, k;
point points_array[1201];
point result_points[1201];

void qsort(void *base, size_t nitems, size_t size,
           int (*compar)(const void *, const void *));

int cmpfunc(const void *a, const void *b) {
    point *order_a = (point *)a;
    point *order_b = (point *)b;
    if (order_a->x > order_b->x) {
        return 1;
    }
    return -1;
}

double max(double a, double b) {
    if (a > b) {
        return a;
    }
    return b;
}

double getSingleArea(point p) {
    return p.x * p.y;
}

double getCommonAreaX(point biggest_x, point new_point) {
    double new_x;
    new_x = new_point.x - biggest_x.x;
    return new_x * new_point.y;
}

double algo() {
    double T[k][n], value;
    int i, j, d;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        T[0][i] = getSingleArea(points_array[i]);
    }
    for (j = 0; j < k; j++) {
        T[j][0] = getSingleArea(points_array[0]);
    }
    for (i = 1; i < k; i++) {
        for (j = 1; j < n; j++) {
            for (d = 0; d < j; d++) {
                value = getCommonAreaX(points_array[j - 1], points_array[j]);
                T[i][j] = max(T[i - 1][j], value + T[i - 1][d]);
            }
        }
    }
    return T[k - 1][n - 1];
}

void read_input() {
    int i;
    fscanf(stdin, "%d %d\n", &n, &k);
    for (i = 0; i < n; i++) {
        fscanf(stdin, "%lf %lf\n", &points_array[i].x, &points_array[i].y);
    }
}

int main() {
    read_input();
    qsort(points_array, n, sizeof(point), cmpfunc);
    printf("%.12lf\n", algo());
    return 0;
}

输入：

5 3
0.376508963445 0.437693410334
0.948798695015 0.352125307881
0.176318878234 0.493630156084
0.029394902328 0.951299438575
0.235041868262 0.438197791997

其中第一个数字等于n，第二个数字等于k，以下几行分别是每个点的x和y坐标，结果应该是：0.381410589193，

而我的是0.366431740966。所以我错过了一点？

Answer 1

这是一个巧妙的小问题，感谢发布！在其余部分中，我将假设没有点被支配，也就是说，没有点 c 使得存在点 d 与 c.x < d.x 和 c.y < d.y。如果有，那么使用c 永远不是最优的（为什么？），所以我们可以放心地忽略任何支配点。您的示例点都没有被支配。

您的问题展示了最优子结构：一旦我们确定了第一次迭代中要包含的项目，我们再次遇到k - 1 和 n - 1 的相同问题（我们从允许的集合中删除选定的项目点）。当然，收益取决于我们选择的集合——我们不想计算区域两次。

我建议我们按 x 值按升序对所有点进行预排序。这确保了选择点的值可以计算为分段区域。我将举例说明：假设我们有三个点，(x1, y1), ..., (x3, y3)，其值为(2, 3), (3, 1), (4, .5)。那么这些点所覆盖的总面积为(4 - 3) * .5 + (3 - 2) * 1 + (2 - 0) * 3。我希望它在图表中有意义：

根据我们没有支配点的假设，我们总是会有这样一个弱下降的数字。因此，预排序解决了“两次计算面积”的整个问题！

让我们把它变成一个动态规划算法。考虑一组n 点，标记为{p_1, p_2, ..., p_n}。令d[k][m] 为大小为k + 1 的子集的最大面积，其中子集中的第(k + 1) 点为点p_m。显然，如果m < k + 1，则m 不能被选为(k + 1)-th 点，因为这样我们就会有一个小于k + 1 的子集，这永远不是最优的。我们有以下递归，

d[k][m] = max {d[k - 1][l] + (p_m.x - p_l.x) * p_m.y, for all k <= l < m}.

k = 1 是每个点的矩形区域的初始情况。初始情况连同更新方程足以解决问题。我估计以下代码为O(n^2 * k)。 n 中的平方项也可能会降低，因为我们有一个有序集合，并且可能能够应用二分搜索在 log n 时间内找到最佳子集，将 n^2 减少到 n log n。我把这个留给你。

在代码中，我尽可能地重新使用了上面的符号。它有点简洁，但希望通过给出的解释清楚。

#include <stdio.h>

typedef struct point
{
    double x;
    double y;
} point_t;


double maxAreaSubset(point_t const *points, size_t numPoints, size_t subsetSize)
{
    // This should probably be heap allocated in your program.
    double d[subsetSize][numPoints];

    for (size_t m = 0; m != numPoints; ++m)
        d[0][m] = points[m].x * points[m].y;

    for (size_t k = 1; k != subsetSize; ++k)
        for (size_t m = k; m != numPoints; ++m)
            for (size_t l = k - 1; l != m; ++l)
            {
                point_t const curr = points[m];
                point_t const prev = points[l];

                double const area = d[k - 1][l] + (curr.x - prev.x) * curr.y;

                if (area > d[k][m])  // is a better subset
                    d[k][m] = area;
            }

    // The maximum area subset is now one of the subsets on the last row.
    double result = 0.;

    for (size_t m = subsetSize; m != numPoints; ++m)
        if (d[subsetSize - 1][m] > result)
            result = d[subsetSize - 1][m];

    return result;
}

int main()
{
    // I assume these are entered in sorted order, as explained in the answer.
    point_t const points[5] = {
            {0.029394902328, 0.951299438575},
            {0.176318878234, 0.493630156084},
            {0.235041868262, 0.438197791997},
            {0.376508963445, 0.437693410334},
            {0.948798695015, 0.352125307881},
    };

    printf("%f\n", maxAreaSubset(points, 5, 3));
}

使用您提供的示例数据，我根据需要找到了0.381411 的最佳结果。

Answer 2

据我所知，您和我都使用相同的方法来计算面积以及整体概念，但我的代码似乎返回了正确的结果。也许审查它可以帮助您找到差异。

JavaScript 代码：

function f(pts, k){
  // Sort the points by x
  pts.sort(([a1, b1], [a2, b2]) => a1 - a2);

  const n = pts.length;
  let best = 0;
  
  // m[k][j] represents the optimal
  // value if the jth point is chosen
  // as rightmost for k points
  let m = new Array(k + 1);
  
  // Initialise m
  for (let i=1; i<=k; i++)
    m[i] = new Array(n);
  for (let i=0; i<n; i++)
    m[1][i] = pts[i][0] * pts[i][1];
    
  // Build the table
  for (let i=2; i<=k; i++){
    for (let j=i-1; j<n; j++){
      m[i][j] = 0;
      for (let jj=j-1; jj>=i-2; jj--){
        const area = (pts[j][0] - pts[jj][0]) * pts[j][1];
        m[i][j] = Math.max(m[i][j], area + m[i-1][jj]);
      }
      best = Math.max(best, m[i][j]);
    }
  }

  return best;
}

var pts = [
  [0.376508963445, 0.437693410334],
  [0.948798695015, 0.352125307881],
  [0.176318878234, 0.493630156084],
  [0.029394902328, 0.951299438575],
  [0.235041868262, 0.438197791997]
];

var k = 3;

console.log(f(pts, k));