在区间图中找到两个节点之间的最有效路径

Question

我有区间数据：

A = (0,50)
B = (20,500)
C = (80,420)
....

并意识到这个数据有一个关联的图表，the interval graph

我想找到从 A 到 G 的最有效路径（假设我知道所有正顶点权重，wa、wb、wc...）。我需要从 A 开始到 G，所以最小生成树必须绑定在这些点之间。我们应用程序中的一个限制条件是，必须完全覆盖从 A 开始到 G 结束的区间（没有间隙）。我在看networkX's minspanning tree method，不明白如何指定A和G必须是起点和终点。

想到的其他一些问题是：

1. 由于这个问题是 NP 难题，如果节点数很高，我是否应该费心寻找最小生成树？多少节点会太多？

2. 注意区间 F 有一个独特的区域。换句话说，要完全覆盖区间 A-G，必须经过 F。因此，我的最小生成树可能应该只连接 A-F，而不是 A-G。给定一个更大的图，是否有一种标准方法可以找到所有区间不包含唯一补丁的子图？换句话说，由于所有路径都必须经过 F 才能到达 G，所以 A-F 是感兴趣的最小跨度路径，而不是 A-G。如何在不手动检查的情况下以这种方式缩小图形？

3. 因为我必须从 A-G 走，所以我永远不会倒退或走循环路径。例如，我永远不会去 A-B-A。生成树是否包含这一点？这会让我的图表有方向吗？考虑点 C：从 C 可以到 D、E 或 F，但永远不会回到 A（对于我们的用例）。这对于图形的方向性意味着什么？

对于新手 Q 很抱歉，大部分内容都是新手。

Answer 1

如果您必须以一种有效的方式从 A 转到 G，那么您并不是在寻找最小生成树算法。一个简单的最短路径算法就足够了。您只需要调整图表以将权重放在边缘而不是节点中。但这只是将节点的权重设置为传入边的问题。

此外，最短路径和最小生成树问题都不是 NP 难题。所有这些问题都有已知的多项式算法。特别是，最短路径可以通过Dijkstra's algorithm 解决（如果您的图没有负边，这似乎是真的），最小生成树可以通过Prim's 或Kruskal's algorithm 解决。

最后，根据定义，任何树都没有循环。

Answer 2

正如另一个答案中提到的，Dijkstra 的算法是解决方案。没有提到的是如何在 networkx 中实现该解决方案。这里是。就这么简单：

import networkx as nx
my_graph = nx.Graph()
my_graph.add_edges_from([('A','B'),('B','C'),('A','C'),('C','D'),('A','D'),('C','E'),('D','E'),('D','F'),('F','G')]) 
#graph is now defined.

shortestpath = nx.dijkstra_path(my_graph, 'A', 'G') #optional weight argument here.
shortestpath
> ['A', 'D', 'F', 'G']

一般而言，有关如何在 networkx 中执行最短路径算法（及其许多变体）的更多文档是 here。

请注意，如果您在节点上有权重并且希望最小化路径中节点的总和，您所做的就是在边上放置权重，以便 (u, v) 的权重为 @987654325 @。

然后运行 ​​nx.dijkstra_path 并使用可选参数告诉 networkx 在哪里可以找到边的权重。整个路径的权重将等于中间权重的总和，加上末端节点值的一半。然后，您可以更正结束节点的权重。