计算数字总和等于 x*m 的数字总和的数字 x 的数量答案

【问题标题】：Count the number of number x that has digit sum equal the digit sum of x*m计算数字总和等于 x*m 的数字总和的数字 x 的数量
【发布时间】：2015-12-10 13:32:54
【问题描述】：

我试图解决以下问题，但我被卡住了。我认为这是一个动态规划问题。可以给点意见吗？

问题：

给定一个正数 n (n

例子：

n= 1, m= 2 结果= 2

n= 18，m=1 结果 = 1000000000000000000

提前致谢。

【问题讨论】：

我不明白这个问题。我的姿势似乎不太好。在您的第一个示例中： x=2, S(x)=S(2)=2; S(xm)=S(4)=4，违反了S(x)=S(xm)。在第二种情况下，当 m=1 时，任何 n 位数字都是一个解。
如果 DP 能在这里工作，我会感到非常惊讶。为什么你认为它会在这里工作？首先，我会寻找一些规则/模式。例如，被 9 整除，根据 (m modulo 9) 您可以自动限制可能的值。当然，如果 m=1,10,100，那么答案是显而易见的。 m = k*10 的答案与 m = k 的答案相同。仍然对于 n = 18，我看不出有任何方法可以在宇宙终结之前解决这个问题。
@isanco。结果是 2，因为[0, 9] 是可能的答案。
@Washington Guedes。谢谢，我现在明白了。
sjsu.edu/faculty/watkins/Digitsum0.htm 有一些数字和属性，ii 看起来（尽管值得怀疑）这样的问题的结果可以直接计算。

标签： c++ algorithm c++11 dynamic-programming

【解决方案1】：

首先，我们需要想出一个递归公式：

从最低有效位 (LSD) 到最高有效位 (MSD)，如果在计算 MSD 后，我们有 S(x) = S(x*m)，我们就有一个有效的解决方案

要验证一个数是否为有效解，我们需要知道三件事：

数字 S(x) 的当前总和是多少
数字 S(x*m) 的当前总和是多少
当前数字是多少。

所以，要回答第一个和最后一个，很容易，我们只需要维护两个参数sum和digit。要计算第二个，我们需要维护两个附加参数，sumOfProduct 和 lastRemaining。

sumOfProduct 是当前的 S(x*m)
lastRemaining 是 (m * current digit value + lastRemaining) / 10 的结果

例如，我们有x = 123 和m = 23

第一个数字 = 3

sum = 3
digit  = 0
sumOfProduct += (lastRemaining + 3*m) % 10 = 9
lastRemaining = (m*3 + 0)/10 = 6

第二个数字 = 2

sum = 5
digit = 1
sumOfProduct += (lastRemaining + 2*m) % 10 = 11
lastRemaining = (m*2 + lastRemaining)/10 = 5

最后一位 = 1

sum = 6
digit = 2
sumOfProduct += (lastRemaining + m) % 10 = 19
lastRemaining = (m + lastRemaining)/10 = 2

因为这是最后一位数字，sumOfProduct += S(lastRemaining) = 21。

因此，x = 123 和 m = 23 不是有效数字。检查x*m = 2829 -> S(x*m) = S(2829) = 21。

所以，我们可以有一个状态为(digit, sum, sumOfProdut, lastRemaining) 的递归公式。

因此，我们的动态编程状态是dp[18][18*9 + 1][18*9 + 1][200]（因为m lastRemaining 不大于200）。

现在dpstate 超过 300 MB，但如果我们使用迭代方法，它会变得更小，大约使用 30 MB

【讨论】：

【解决方案2】：

这个问题可以直接计算。

根据这些文件：1、2 和 3（感谢 @LouisRicci 找到它们），我们可以声明：

倍数之和的重复循环从最后一位开始重复，但从基数开始重复（9 表示基数为 10）
S(x) 可以定义为：让a 等于x mod 9，如果a 为零，则取9 作为结果，否则取a。 你可以在下面的 ES6 sn-p 中播放它：

IN.oninput= (_=> OUT.value= (IN.value % 9) || 9);
IN.oninput();

Input x:<br>
<input id=IN value=123><br>

S(x):<br>
<input id=OUT disabled>

乘法规则：S(x * y) = S(S(x) * S(y))。
S(x) 和 S(x*m) 对于x=0 将始终为真，这样就不会产生零结果。

考虑到以上陈述，我们应该计算S(m)的倍数和的重复周期：

int m = 88;
int Sm = S(m); // 7

int true_n_times_in_nine = 0;
for (int i=1; i<=9; i++) {
    true_n_times_in_nine += i == S(i * Sm);
}

那么答案：

result = ((pow(10, n) / 9) * true_n_times_in_nine);

因为大小写为零而加一：

result++;

这是一个 ES6 解决方案：

S= x=> (x % 9) || 9;
TrueIn9= (m, Sm=S(m))=> [1,2,3,4,5,6,7,8,9].filter(i=> i==S(i*Sm)).length;
F= (n,m)=> ~~(eval('1e'+n)/9) * TrueIn9(m) + 1;


N.oninput= 
M.oninput= 
f=(_=> OUT.value= F(N.value | 0, M.value | 0));
f();

Input n: (number of digits)<br>
<input id=N value=1><br>

Input m: (multiplicative number)<br>
<input id=M value=2><br>

F(n,m):<br>
<input id=OUT disabled><br>

【讨论】：