将最长公共子序列减少为最长递增子序列

Question

如果最多一个序列有重复，我们可以将最长公共子序列问题简化为最长递增子序列问题。减少问题的过程说明here：

假设你有序列：

S1 = {D, B, A, C, E}
S2 = {E, Z, X, D, A, Y, C}

然后，创建一个整数序列 S3，其中您必须将 S2 的每个元素的位置放在 S1 中（如果该元素在 S1 中不存在，则忽略该元素）。在示例中：

S3 = {4, 0, 2, 3}
// Z, X and Y in S2 where ignored

然后，只需在 S3 中找到 LIS。要找到原始元素，只需使用 LIS 中的整数作为 S1 的索引。例如，在本例中，S3 的 LIS 为{0, 2, 3}，其中表示序列{D, A, C}。

这种方法是如何工作的？为什么这种归约解决了寻找最长公共子序列的问题？

Answer 1

根据您构建 S3 的方式，可以保证 S3 的元素“仅”指向 S1 和 S2 的公共元素。

通过使用位置并找到最长的递增子序列，您可以确保您找到的是原始 S1 和 S2 的子序列，而不仅仅是它们共有的元素数量：

• 它将是 S1 的子序列，因为 S3 中元素的数值编码了 S1 中的位置，所以 增加 S3 的子序列 = S1 的子序列
• 它将是S2的子序列，因为S3的元素中编码的元素与S2的元素顺序相同，所以S3的子序列 = S2的子序列

因此，S3的最长递增子序列将“编码”：

• S1 的子序列
• S2 的子序列
• 仅包含 S1 和 S2 中存在的元素的序列
• 此类子序列中最长的一个

即S1和S2之间的最长公共子序列

您可以使用所描述的过程“解码”，即使用索引 = S3 的元素获取 S1 的元素。

注意：正如链接中所指出的，这仅在最多一个序列有重复时才有效，并且在构建 S3 时，您应该将没有重复的序列作为 S1。

这似乎与更常见的reduction of LIS to LCS 相反。