如何使用动态编程找到子序列的最大和？

Question

我正在重新阅读 Skiena 的算法设计手册，以了解一些我从学校开始就忘记的东西，我对他对动态编程的描述感到有些困惑。我在 Wikipedia 和其他各种网站上查找了它，虽然这些描述都很有道理，但我自己却无法找出具体的问题。目前，我正在研究 Skiena 书中的问题 3-5。 （给定一个由 n 个实数组成的数组，在输入的任何连续子向量中找到最大和。）我有一个 O(n^2) 解决方案，如this answer 中所述。但我坚持使用动态编程的 O(N) 解决方案。我不清楚递归关系应该是什么。

我看到子序列形成了一组和，如下所示：

S = {a,b,c,d}

a    a+b    a+b+c    a+b+c+d
     b      b+c      b+c+d
            c        c+d
                     d

我不明白如何选择哪一个在线性时间内最大。我已经尝试过跟踪迄今为止最大的总和，如果当前值为正，则将其添加到总和中。但是当你有更大的序列时，这会变得有问题，因为可能会有一些负数会减少总和，但稍后的大正数可能会使其回到最大值。

我还想起了总面积表。您可以仅使用累积总和计算所有总和：a、a+b、a+b+c、a+b+c+d 等。（例如，如果您需要 b+c，则只需 (a+ b+c) - (a).) 但是没有看到 O(N) 的方法来获得它。

谁能向我解释这个特定问题的 O(N) 动态规划解决方案是什么？我觉得我几乎明白了，但我错过了一些东西。

Answer 1

你应该take a look to this pdf回到学校http://castle.eiu.edu这里是：

以下伪代码的解释也在pdf中。

Answer 2

有一种解决方案，首先将数组排序到一些辅助内存中，然后对原始数组和排序后的数组应用最长公共子序列方法，其中公共子序列的总和（不是长度） 2 个数组作为表中的条目（记忆）。这样也能解决问题

总运行时间为 O(nlogn)+O(n^2) => O(n^2) 空间是 O(n) + O(n^2) => O(n^2)

当记忆出现时，这不是一个好的解决方案。这只是为了让我们一瞥如何将问题简化为另一个问题。

Answer 3

我对DP的理解是关于“制作一张桌子”。其实DP中“编程”的原意就是简单的做表。

关键是要弄清楚要在表中放入什么，或者现代术语：要跟踪什么状态，或者 DAG 中的顶点键/值是什么（如果这些术语听起来很奇怪，请忽略这些术语你）。

如何选择dp[i]表为数组的索引i处结束的最大和，例如数组为[5,15,-30,10]

第二个重要的关键是“最佳子结构”，即“假设”dp[i-1] 已经存储了以索引 i-1 结尾的子序列的最大和，这就是为什么只有一步at i 是决定是否在子序列中包含a[i]

dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-1] + a[i])

max 中的第一个词是“不包含 a[i]”，第二个词是“包含 a[i]”。请注意，如果我们不包括 a[i]，那么迄今为止最大的总和仍然是 dp[i-1]，它来自“最优子结构”参数。

所以整个程序看起来像这样（在 Python 中）：

a = [5,15,-30,10]

dp = [0]*len(a)
dp[0] = max(0,a[0]) # include a[0] or not

for i in range(1,len(a)):
    dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-1]+a[i]) # for sub-sequence, choose to add or not     


 print(dp, max(dp)) 

结果：在i遍历数组a之后，子序列的最大和应该是dp表中最大的项。但仔细看看dp，它包含所有信息。

由于它只遍历数组a 中的项目一次，因此它是一个 O(n) 算法。

这个问题看起来很傻，因为只要a[i]是正数，我们就应该一直把它包含在子序列中，因为它只会增加总和。这个直觉符合代码

dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-1] + a[i])

所以最大。子序列之和问题很简单，根本不需要DP。简单来说，

sum = 0
for v in a:
     if  v >0
         sum += v

但是，“连续子数组”问题的最大和呢？我们只需要修改一行代码

dp[i] = max(dp[i-1]+a[i], a[i])    

第一项是“在连续子数组中包含a[i]”，第二项是决定开始一个新的子数组，开始a[i]。

在这种情况下，dp[i] 是最大值。对以 index-i 结尾的连续子数组求和。

这肯定比在 i-loop 内的 for j in range(0,i): 和所有可能的子数组 sum 的简单方法 O(n^2)*O(n) 更好。

一个小警告，因为设置dp[0]的方式，如果a中的所有项目都是负数，我们不会选择任何项目。所以对于最大和连续子数组，我们把它改成

dp[0] = a[0]