理解变革算法

Question

我一直在寻找Change-making problem 的好解决方案，但我发现了这段代码（Python）：

target = 200
coins = [1,2,5,10,20,50,100,200]
ways = [1]+[0]*target
for coin in coins:
    for i in range(coin,target+1):
        ways[i]+=ways[i-coin]
print(ways[target])

我理解代码的字面意思没有问题，但我不明白为什么它有效。 有人可以帮忙吗？

Answer 1

要获得元素等于“a”或“b”或“c”（我们的硬币）且总和为“X”的所有可能集合，您可以：

• 取所有这些集合，总和为 X-a，并为每个集合添加一个额外的“a”。
• 取所有这样的集合，总和为 X-b，并为每个集合添加一个额外的“b”。
• 取所有这样的集合，总和为 X-c，并为每个集合添加一个额外的“c”。

所以你能得到 X 的方法数是你能得到 X-a 和 X-b 和 X-c 的方法数之和。

ways[i]+=ways[i-coin]

休息是简单的重复。

额外提示： 在开始时，您可以通过一种方式（空集）设置总和为零（空集）

ways = [1]+[0]*target

Answer 2

这是dynamic programming 的经典示例。它使用缓存来避免计算诸如 3+2 = 5 两次（因为另一种可能的解决方案：2+3）。递归算法落入了这个陷阱。让我们关注一个简​​单的例子，其中target = 5 和coins = [1,2,3]。您发布的代码很重要：

1. 3+2
2. 3+1+1
3. 2+2+1
4. 1+2+1+1
5. 1+1+1+1+1

虽然递归版本很重要：

1. 3+2
2. 2+3
3. 3+1+1
4. 1+3+1
5. 1+1+3
6. 2+1+2
7. 1+1+2
8. 2+2+1
9. 2+1+1+1
10. 1+2+1+1
11. 1+1+2+1
12. 1+1+1+2
13. 1+1+1+1+1

递归代码：

coinsOptions = [1, 2, 3]
def numberOfWays(target):
    if (target < 0):
        return 0
    elif(target == 0):
        return 1
    else:
        return sum([numberOfWays(target - coin) for coin in coinsOptions])
print numberOfWays(5)

动态编程：

target = 5
coins = [1,2,3]
ways = [1]+[0]*target
for coin in coins:
    for i in range(coin, target+1):
        ways[i]+=ways[i-coin]
print ways[target]

Answer 3

代码背后的主要思想如下： "在每一步都有ways 的方式来改变i 给硬币的金额[1,...coin]"。

所以在第一次迭代中，您只有一枚面额为1 的硬币。我相信很明显，只有一种方法可以让任何目标都只使用这些硬币。在这一步中，ways 数组看起来像[1,...1]（对于从0 到target 的所有目标只有一种方式）。

在下一步中，我们将面额为2 的硬币添加到前一组硬币中。现在我们可以计算从0 到target 的每个目标有多少变化组合。 显然，组合的数量只会增加目标 >= 2（或添加新硬币，一般情况下）。因此，对于等于2 的目标，组合数将为ways[2](old) + ways[0](new)。通常，每当i 等于引入的新硬币时，我们需要将1 添加到先前的组合数中，其中新组合将仅由一枚硬币组成。

对于target > 2，答案将由“所有硬币小于coin的target数量的所有组合”和“所有硬币小于coin数量的所有组合”的总和组成coin 自己”。

这里我描述了两个基本步骤，但我希望它容易概括。

让我向您展示target = 4 和coins=[1,2] 的计算树：

方式[4]给定硬币=[1,2] =

方式[4] 给定硬币=[1] + 方式[2] 给定硬币=[1,2] =

1 + 方式[2] 给定硬币=[1] + 方式[0] 给定硬币=[1,2] =

1 + 1 + 1 = 3

所以有三种方法可以进行更改：[1,1,1,1], [1,1,2], [2,2]。

上面给出的代码完全等同于递归解决方案。如果你理解the recursive solution，我打赌你理解上面给出的解决方案。

Answer 4

您发布的解决方案是此代码的摘要版本。

    /// <summary>
    /// We are going to fill the biggest coins one by one.
    /// </summary>
    /// <param name="n"> the amount of money </param>
    public static void MakeChange (int n)
    {
        int n1, n2, n3; // residual of amount after each coin
        int quarter, dime, nickel; // These are number of 25c, 10c, 5c, 1c
        for (quarter = n/25; quarter >= 0; quarter--)
        {
            n1 = n - 25 * quarter;
            for (dime = n1/10; dime >= 0; dime--)
            {
                n2 = n1 - 10 * dime;
                for (nickel = n2/5; nickel >= 0 && (n2 - 5*nickel) >= 0; nickel--)
                {
                    n3 = n2 - 5 * nickel;
                    Console.WriteLine("{0},{1},{2},{3}", quarter, dime, nickel, n3); // n3 becomes the number of cent.
                }
            }
        }
    }