Haskell 低效的斐波那契实现

Question

我是 haskell 的新手，刚刚学习函数式编程的乐趣。但是在实现斐波那契函数时立即遇到了麻烦。请在下面找到代码。

--fibonacci :: Num -> [Num]
fibonacci 1 = [1]
fibonacci 2 = [1,1]
--fibonacci 3 = [2]
--fibonacci n = fibonacci n-1
fibonacci n = fibonacci (n-1) ++ [last(fibonacci (n-1)) + last(fibonacci (n-2))]

相当尴尬，我知道。我找不到时间查找并写一个更好的。虽然我想知道是什么让这个效率如此低下。我知道我应该查一下，只是希望有人会觉得有必要成为教育者，让我不费吹灰之力。

Answer 1

orangegoat's answer 和 Sec Oe's answer 包含一个链接，该链接可能是学习如何在 Haskell 中正确编写斐波那契数列的最佳地点，但这里是您的代码效率低下的一些原因（请注意，您的代码与经典naive definition。优雅？当然。高效？天哪，不）：

让我们考虑一下调用时会发生什么

fibonacci 5

扩展为

(fibonacci 4) ++ [(last (fibonacci 4)) + (last (fibonacci 3))]

除了将两个列表与++ 连接在一起之外，我们已经可以看到我们效率低下的一个地方是我们计算fibonacci 4 两次（我们称之为@987654329 的两个地方@. 但它变得最糟糕。

上面写着fibonacci 4的所有地方都扩展到

(fibonacci 3) ++ [(last (fibonacci 3)) + (last (fibonacci 2))]

到处都是fibonacci 3，它扩展为

(fibonacci 2) ++ [(last (fibonacci 2)) + (last (fibonacci 1))]

显然，这个幼稚的定义有很多重复的计算，而且只有当 n 变得越来越大（比如 1000）时，它才会变得更糟。 fibonacci 不是列表，它只是返回列表，所以它不会神奇地记住之前计算的结果。

此外，通过使用last，您必须浏览列表以获取其最后一个元素，这增加了此递归定义的问题（请记住，Haskell 中的列表不支持恒定时间随机访问- - 它们不是动态数组，它们是linked lists)。

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确实抑制计算的递归定义（来自提到的链接）的一个示例是这样的：

fibs = 0 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)

这里，fibs实际上是一个列表，我们可以利用Haskell的惰性求值根据需要生成fibs和tail fibs，而之前的计算仍然存储在fib中。要获得前五个数字，很简单：

take 5 fibs -- [0,1,1,2,3]

（或者，如果您希望序列从 1 开始，您可以将第一个 0 替换为 1）。

Answer 2

在 Haskell 中实现斐波那契数列的所有方法只需点击链接即可 http://www.haskell.org/haskellwiki/The_Fibonacci_sequence

Answer 3

此实现效率低下，因为它进行了三个递归调用。如果我们将计算fibonacci n 的递归关系写成一个范式（注意，书呆子读者：不是whnf），它看起来像：

T(1) = c
T(2) = c'
T(n) = T(n-1) + T(n-1) + T(n-2) + c''

（这里的c、c' 和c'' 是一些我们不知道的常数。）这是一个较小的重复：

S(1) = min(c, c')
S(n) = 2 * S(n-1)

...但是这种重复有一个很好的简单封闭形式，即S(n) = min(c, c') * 2^(n-1)：它是指数的！坏消息。

我喜欢您实现的总体思路（即一起跟踪序列的倒数第二项和最后一项），但是您通过递归调用 fibonacci 多次失败了，而这完全没有必要。这是一个修复该错误的版本：

fibonacci 1 = [1]
fibonacci 2 = [1,1]
fibonacci n = case fibonacci (n-1) of
    all@(last:secondLast:_) -> (last + secondLast) : all

这个版本应该会更快。作为一种优化，它以相反的顺序生成列表，但这里最重要的优化是只进行一次递归调用，而不是有效地构建列表。

Answer 4

因此，即使您不知道更有效的方法，您如何改进您的解决方案？

首先，看一下签名，您似乎不想要一个无限列表，而是一个给定长度的列表。没关系，无限的东西现在对你来说可能太疯狂了。

第二个观察是您需要在您的版本中经常访问列表的末尾，这很糟糕。所以这里有一个在处理列表时通常很有用的技巧：编写一个向后工作的版本：

fibRev 0 = []
fibRev 1 = [1]
fibRev 2 = [1,1]
fibRev n = let zs@(x:y:_) = fibRev (n-1) in (x+y) : zs

这是最后一种情况的工作原理：我们得到一个短一个元素的列表，并将其命名为zs。同时，我们匹配(x:y:_) 模式（@ 的这种用法称为as-pattern）。这为我们提供了该列表的前两个元素。要计算序列的下一个值，我们只需添加这些元素。我们只是将总和 (x+y) 放在我们已经得到的列表 zs 前面。

现在我们有了斐波那契列表，但它是倒数的。没问题，用reverse：

fibonacci :: Int -> [Int]
fibonacci n = reverse (fibRev n)

reverse 函数并不昂贵，我们只在这里调用它一次。