最小化 PLL 频率计算中的整数舍入误差答案

【问题标题】：Minimize integer round-off error in PLL frequency calculation最小化 PLL 频率计算中的整数舍入误差
【发布时间】：2021-08-08 03:52:26
【问题描述】：

在特定的 STM32 微控制器上，系统时钟由 PLL 驱动，其频率 F 由以下公式给出：

F := (S/M * (N + K/8192)) / P

S 是 PLL 输入源频率（1 - 64000000，或 64 MHz）。

其他因素M、N、K和P是用户可以修改以校准频率的参数。从我使用的 SDK 中的位掩码来看，每个位掩码的值可以限制为最大 M < 64、N < 512、K < 8192 和 P < 128。

不幸的是，我的目标固件不支持 FPU，所以浮点运算不可用。相反，我需要使用纯整数算法来计算 F。

我试图重新排列给定的公式，考虑到 3 个目标：

但是，我每次尝试扩展和重新排列表达式都会产生大于的错误，因为它最初是逐字表达的。

为了测试公式的不同排列并比较错误，我写了a small Go program you can run online here。

是否可以改进这个公式，以便在使用整数运算时将误差降至最低？还有我上面列出的任何目标不正确或无用吗？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

我拿走了你的程序（你的第一个括号是多余的，所以我删除了）：

 S            K
--- * ( N + ------ )
 M           8192
--------------------
        P

并通过 QuickMath [1]，我得到了这个：

S * (8192 * N + K)
------------------
   8192 * M * P

或在 Go 代码中：

S * (8192 * N + K) / (8192 * M * P)

所以它确实减少了除法的数量。您可以通过以下方式进一步改进它拉出下常数：

S * (8192 * N + K) / (M * P) >> 13

【讨论】：

谢谢，但是这些解决方案产生的舍入误差非常大！此外，在 Go 中，使用移位的最终表达式需要将操作数类型转换为 uint64，否则它会更频繁地溢出。所以不幸的是，这些并没有最小化舍入误差，而是显着增加了它。你可以在这里看到这些结果的证明：play.golang.org/p/7ZBXSMN1w_0

【解决方案2】：

查看@StevenPerry 的答案，我意识到大部分错误是由我们必须代表K/8192 的有限精度引起的。然后，此错误会传播到其他因素和红利中。

然而，推迟除法通常会导致整数溢出。因此，不幸的是，我找到的解决方案取决于将这些操作数扩展到 64 位。

结果与其他答案的形式相同，但必须强调将操作数扩大到 64 位是必不可少的。在 Go 源代码中，如下所示：

var S, N, M, P, K uint32
...
F := uint32(uint64(S) * uint64(8192*N+K) / uint64(8192*M*P))

要查看所有这三个表达式的准确性，run the code yourself on the Go Playground。

【讨论】：