查找所有非共线点

Question

给定二维平面中的一组点，是否有可能在二维平面中找到一组所有可能的非共线点？ 时间复杂度目前并不重要，只要解决方案正确即可。

Answer 1

您的要求可能需要澄清。任何两点彼此共线，因为一条线将它们连接起来。为了使这个问题可以回答，看来我必须解释您要表达的意思：如果任何数量大于或等于三的点都彼此共线，那么我们的一组非共线点只能包含一个共线点。

鉴于此，我们可以执行以下操作：

1. 对于每对点，将它们之间的斜率计算为 (y - y') / (x - x')。如果 x = x'，只需将斜率记为 V。

2. 接下来，对于每一对点和斜率，检查涉及该对中任一点的所有其他点对，并查看对应的斜率是否与被检查的斜率相同。将所有如此确定的点添加到一个集合中，然后将该集合添加到一个集合中。

3. 完成后，您将拥有一个集合集合，并且集合中每个集合中的所有点都将由彼此共线的点组成。

现在的问题如下：找到可以选择的最大点数，以使两个集合中不存在两个点。如果您选择了其中一个集合中的两个点，那么您将选择与至少一个其他点共线的两个点。

此时，我们可以简单地尝试 n 个点的所有 2^n 个子集，并检查每个子集是否可以接受（因为子集和任何集合的交集的大小最多为 1）。

例子：

p = (1, 1), q = (2, 2), r = (3, 3), s = (2, 3)

m = [ - 1 1 2]
    [ 1 - 1 V]
    [ 1 1 - 0]
    [ 2 V 0 -]

(p, q): r yes, s no; collection (p, q, r)
(p, r): q yes, s no; collection (p, q, r)
(p, s): q no, r no; no collection
(q, p): r yes, s no; collection (p, q, r)
(q, r): p yes, s no; collection (p, q, r)
(q, s): p no, r no; no collection
(r, p): q yes, s no; collection (p, q, r)
(r, q): p yes, s no; collection (p, q, r)
(r, s): p no, q no; no collection
(s, p): q no, r no; no collection
(s, q): p no, r no; no collection
(s, r): p no, q no; no collection

Try candidate (p, q, r, s): intersection with (p, q, r) has size > 1, reject
Try candidate (p, q, r): intersection with (p, q, r) has size > 1, reject
Try candidate (p, q, s): intersection with (p, q, r) has size > 1, reject
…
Try candidate (p, s): intersection with (p, q, r) has size = 1, accept

这显然是时间和空间上的指数，但这将解决问题。