动态和/或静态直线/正交/X-Y 凸包答案

【问题标题】：Dynamic and/or Static Rectilinear/Orthogonal/X-Y Convex Hull动态和/或静态直线/正交/X-Y 凸包
【发布时间】：2013-01-02 19:14:57
【问题描述】：

我正在寻找一种有效的算法来处理二维动态rectilinear convex hulls。

我编写了一个静态算法，虽然它在大多数情况下都有效，但它根本不起作用，所以我也在寻找关于静态直线凸包的资源。维基百科有一些关于算法的研究论文，但我无法访问它们。所以寻找其他来源或帮助编写代码。

任何帮助都将不胜感激，Python 中的算法，非常感谢。

当前静态代码：

def stepped_hull(points, is_sorted=False, return_sections=False):
    # May be equivalent to the orthogonal convex hull

    if not is_sorted:
        points = sorted(set(points))

    if len(points) <= 1:
        return points

    # Get extreme y points
    min_y = min(points, lambda p:p[1])
    max_y = max(points, lambda p:p[1])

    points_reversed = list(reversed(points))

    # Create upper section
    upper_left = build_stepped_upper(points, max_y)
    upper_right = build_stepped_upper(points_reversed, max_y)

    # Create lower section
    lower_left = build_stepped_lower(points, min_y)
    lower_right = build_stepped_lower(points_reversed, min_y)

    # Correct the ordering
    lower_right.reverse()
    upper_left.reverse()

    if return_sections:
        return lower_left, lower_right, upper_right, upper_left

    # Remove duplicate points
    hull = OrderedSet(lower_left + lower_right + upper_right + upper_left)
    return list(hull)

def build_stepped_upper(points, max_y):
    # Steps towards the highest y point

    section = [points[0]]

    if max_y != points[0]:
        for point in points:
            if point[1] >= section[-1][1]:
                section.append(point)

            if max_y == point:
                break
    return section

def build_stepped_lower(points, min_y):
    # Steps towards the lowest y point

    section = [points[0]]

    if min_y != points[0]:
        for point in points:
            if point[1] <= section[-1][1]:
                section.append(point)

            if min_y == point:
                break
    return section

【问题讨论】：

动态你的意思是你想维护一个 x-y 凸包，它的点在程序执行过程中被修改？您的意思是您的静态算法有效，但更新凸包失败，还是在其他方面失败？
基本上，我想从一组点创建一个 x-y 船体，删除 1 个或多个船体点，重新计算船体。删除一些排序点重新计算，依此类推。我想避免在 O(N log N) 处删除点，O(N) 可能是可行的，O(log N) 是理想的。我目前正在使用一种静态算法来给出正确的点，但由于我编码它的方式，在一个点是 x 和 y 的极值点的情况下，可能已经越过了边缘。一个相对较小的问题，但表明该算法可能在其他方面存在缺陷。因此，如果可能的话，会更喜欢已知的“正确”算法。
我承认我还没有为这种凸包实现算法，但它是独一无二的（考虑单平面方向）吗？例如，如果您有两个点，a 和 b，在相同的 x 坐标和不同的 y 坐标上，您可以简单地链接一个点 c，它位于两个点的左侧，并且位于两个点的下方他们，在a 和b 之间的最上面？或者是否需要先将c 连接到最底部？
在这种情况下连接到最上面会创建一个凸包，该凸包的面积大于另一种方法所做的面积。这是否会取消前者作为 x-y 凸包的资格？
我用来检查要删除哪些点的算法依赖于正确的顺序，因此需要 c-b-a，这就是为什么我在静态算法中遇到的小问题是有问题的。虽然，既然你提到它，这可能是获得算法比 O(N) 算法更好的问题

标签： python performance algorithm convex

【解决方案1】：

对于正确算法的实现，您可能需要查看this。对于Rectilinear Convex hull的动态维护，最好寻找动态数据结构来维护Maxima of a Set，这是一个研究较多的课题。点集的最大元素的集合就是Rectilinear Convex Hull的顶点集合，所以这两个问题是等价的。

您可以在 this paper 中找到每次操作花费 $O(\log n)$ 时间的算法。

【讨论】：