单调路径区域的递归总和答案

【问题标题】：Recursive sum of monotonic path areas单调路径区域的递归总和
【发布时间】：2016-05-23 17:13:18
【问题描述】：

我正在尝试提出一种递归方法来查找从 nxn 网格的左上角到右下角的所有单调路径的所有区域的总和（路径的每一步都可以向右或沿线向下）。

假设左下角有坐标(0,0)，我有如下函数：

int sum(int current_sum, int x, int y, int n){
    if (x == n || y == 0)  
        return current_sum;

    return (sum(current_sum+y, x+1, y, n) + sum(current_sum, x, y-1, n));
}

，当它到达网格的右侧或底线时停止（从那里的任何移动都不会改变该区域的当前值）并考虑向右或向下移动产生的区域的总和。结果比它应该的要大，我很难找出原因。有人可以看看吗？

提前致谢

【问题讨论】：

我认为添加一个包含输入、预期和实际输出的具体示例会有很大帮助。
这是来自 Project Euler 的问题：projecteuler.net/problem=15
专注于回报。 x+1，y-1。使用 2 步 for 循环怎么样，x 从低移到高，y 从高移到低？它可以解决向零值墙移动的问题。
相关：meta.stackoverflow.com/questions/251923/…

标签： c recursion path area

【解决方案1】：

再次阅读，OP 的解决方案似乎已经正确。下面我的回答供参考。

这似乎是 Project Euler problem 15，或者一个非常相似的问题。

所以如果我理解正确你想要做的是这样的：

每条路径只走一次。
计算每条不同的路径并将该路径下的面积加到总和中。

以递归方式执行此操作如下所示：

int area(int x, int y)
{
  if (x == 0 || y == 0)
    /* We are at the end of a path, terminate */
    return 0;

  /* We are not at the end, add the two choices possible from here */
  return area(x, y - 1) + area(x - 1, y) + y;
}

你必须画一个图来看看最后一个表达式是否正确。当我们在网格中向右移动（-x）时，我们只将 y 添加到总和中，从而覆盖我们下方的一列。向下移动 (-y) 不会覆盖任何区域。

这个解决方案应该是正确的，但它会很慢。为了加快速度，您可以添加 memoisation 这意味着将 area(x, y) 的中间结果保存到表中并查找它而不是每次都计算它。我不会为您编写该解决方案，但这并不难。祝你好运。

【讨论】：

【解决方案2】：

[..] 从 nxn 网格的左上角到 右下角 [..]

您的代码没有反映：

// ...
  if (x == n || y == 0)  
    return current_sum;
// ...

第一个单元格（向右）是问题所在：x == 2 == n，因此您返回路径的总和尽管它没有在右下角结束。因此，您对太多路径求和，导致总和太大。

我认为应该这样做：

unsigned sum_inner(
    unsigned const accumulatedSum,
    size_t const x, size_t const y,
    size_t const gridSideSize) {
  bool atRightEdge = (x == gridSideSize - 1);
  bool atBottomEdge = (y == 0);
  if (atRightEdge && atBottomEdge) {
    // Awesome, in lower right corner, so everything is fine
    // Except that with the implementation of the other two edge cases, this
    // will never be run (except for the 1x1 case)!
    printf("reached lower right edge!\n");
    return accumulatedSum + 1;
  } else if (atRightEdge) {
    // Right edge, so from here one can only go down. Since there's only one
    // possible path left, sum it directly:
    return accumulatedSum + y + 1;
  } else if (atBottomEdge) {
    // Bottom edge, so from here one can only go right. Since there's only one
    // possible path left, sum it directly:
    return accumulatedSum + (gridSideSize - x) + 1;
  } else {
    // Somewhere in the grid, recursion time!
    return sum_inner(accumulatedSum + y, x + 1, y, gridSideSize) +
           sum_inner(accumulatedSum, x, y - 1, gridSideSize);
  }
}

unsigned sum_monotonic_tl_br(size_t const gridSideSize) {
  return sum_inner(0, 0, gridSideSize - 1, gridSideSize);
}

(Live with sizes from 1 to 15)

【讨论】：