在多边形内随机放置一个多边形答案

【问题标题】：Randomly placing a polygon inside of polygon在多边形内随机放置一个多边形
【发布时间】：2016-01-15 07:11:44
【问题描述】：

我将两个多边形定义为一系列 2D 浮点值。它们不保证是凹的或凸的。他们不越过自己。它们不能旋转。如果可能的话，我想根据它的大小将一个随机放置在另一个内部。主要问题是效率。我必须在几秒钟内完成大约 200 次左右。

我已经研究了几天了，但没有取得明显的进展。任何线索将不胜感激。

【问题讨论】：

你想用这两个多边形做什么？
很抱歉，在标题中指定，从未在正文中添加它。现已更新。
要提出一种有效的算法，我们可能需要更多地了解您要解决的问题，尤其是我们可以依赖的多边形的任何定义特征。
除了定义多边形的典型特征之外并没有什么。至少 3 个点，不跨越自身等。它们的大小和形状基本上是任意的。

【解决方案1】：

^{免责声明：如果您尝试将多个多边形打包到一个更大的多边形中，那么我认为 this problem is NP hard 因此不太可能开发出高效且精确的算法来解决这个问题。多边形可以在一个平面内连续平移和旋转，这意味着位置可能是无限的，这使得问题的解决空间也是无限的。如果您只是想找出较小的多边形是否可以放入较大的多边形中，我没有一个有效的答案，但正如您所问的那样 - “任何线索都将不胜感激” - 这是一个。支持>}

设较大的多边形为B，较小的多边形（要插入的多边形）为S。B共有b个点，S共有s个点。

下图显示了一个边界框和一个最小边界矩形。我们使用它来获得 Fast Fail Filter（非常简单的想法......在下一段中定义）。下面显示的框 (a) 计算速度更快，而框 (b) 的过滤更准确。画出可以为您的案例带来更好投资回报的方框。尽管在下图中，它们都以椭圆而不是多边形为边界，但您明白了。

^{（图片取自：http://portal.ku.edu.tr/~cbasdogan/Tutorials/imageU21.JPG）}

症结：如果 B 的任何一条线与 S 的任何一条线相交，或者如果 S 的所有线都在 B 之外，则 B 无法将 S 纳入。

Fast fail filter： 获取 B 和 S 的边界矩形。如果无法将 S 的边界矩形放在 B 的边界矩形内，则您不能将多边形 S 放在多边形 B 内。如果 B 没有机会包围 S，这样您会更快地失败。下图说明了这三种情况。

^{（图片取自：http://www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as4/figures/boundcull.gif）}

预处理： 确定构成 B 的线的方程。将它们存储在 HashMap<<Point, Point>, Line> 中，以便稍后完成。您可以通过斜率 m 唯一地定义线并截取 c 并且线的端点将成为关键（<Point, Point> ) 的 HashMap。

算法：

对于通过上述过滤器的每个 S：

读取 S 的点并确定构成 S 的线
对于 S 的每一行，看它是否与 B 的任何一行相交^†（它们已经存储在 HashMap 中）
如果没有交叉点，S 在 B 里面，你只需要画线，不用担心交叉点。

在最坏的情况下，这个算法的复杂度将是 O(bs) 用于绘制每个多边形。

^†_{此步骤是蛮力编写的，以使算法易于理解。否则，可以在这里进行更快地给出结果的关键优化。您可以过滤 B 的线。如果 B 的线的端点在 S 的最左点的左侧，或者在 S 的最右点的右侧或上方，则不需要考虑与 S 相交的 B 线S或S以下。这样可以节省很多计算。}

【讨论】：

我认为您可能误解了这个问题，该问题显示为“我有两个多边形定义为一系列 2D 浮点值。”您仍然可以以某种方式使用您的算法（例如，生成一堆随机旋转和平移的多边形 S，并找到第一个通过过滤器的版本），但作者可能追求更有效的算法。
@MichaelPetito：你是对的。我正在查看是否仍然可以编辑和回答问题。如果没有，我将删除我的答案。
我不会删除您的答案，因为它可能提供合理的替代方案或有用的。
@MichaelPetito：修改了文本以保持其有用性，并在顶部添加了有用的免责声明。再次感谢您指出错误。

【解决方案2】：

如果这里的其他答案有用，这是它的附录。它展示了另一种查看较小多边形是否在较大多边形内的方法。

要测试多边形包含，您会查看多边形的所有边是否都包含在内。要测试所有边，请测试是否包含每条边的所有点。

通过在现有顶点之间添加顶点致密较小的多边形。下图显示了一条线的致密化。
现在对于致密多边形，测试它的点是否都位于外部多边形内。这个测试可以通过从两边的点画线到无穷远，然后计算这条线与更大的多边形相交的次数来完成。
如果所有点都在范围内，则多边形在范围内。

_{First Image source.}

^{Second Image source.}

【讨论】：