试图理解动态二进制搜索问题

Question

算法介绍有以下问题

有序数组的二分查找需要对数查找时间，但是 插入新元素的时间与数组的大小成线性关系。我们 可以通过保留多个排序数组来提高插入时间。

具体来说，假设我们希望支持 SEARCH 和 INSERT n 个元素的集合。让 k 等于 lg(n + 1) 的上限，并让 n 的二进制表示为 (n_k-1, n_k-2 ... n₀)。我们已经 k 排序 数组 (A₀, A₁, A_k-1) 其中 i = (0, 1, ... k-1) , 的长度 数组 A_i 是 2ⁱ。每个数组是满的还是空的，取决于 分别是 n_i = 1 还是 n_i = 0。元素总数 因此，在所有 k 个数组中保存的是 n_i * 2ⁱ 从 0 到 k-1 的总和 等于n。尽管每个单独的数组都已排序，但其中的元素 不同的数组彼此之间没有特定的关系。

我很难理解它所描述的数据结构。具体来说，我对 行感到困惑，并让 n 的二进制表示为 (n_k-1, n_k-2 ... n ₀)" 我明白什么是二进制表示，但是，我对 "(n_k-1, n_k-2 感到困惑。 .. n₀)”。 n 不是已经定义了吗？ n 有 k-1 个变体吗？还是 n 受 k 的限制？我们只是在看二进制的 k-1 位数字吗？

这条线是什么意思？

还有它与 “每个数组是满的还是空的，取决于 n_i = 1 还是 n_i = 0”有什么关系” em>？

例如，如果我有数组 A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

我知道 k = 3，因此我有 3 个长度为 1 的数组 A₀、A₁、A₂， 2, 4. 然而 我不明白这些数组的内容是什么。

数组 A₀、A₁、A₂ 的内容是什么？

Answer 1

n 项在整个数组中任意分布。唯一的限制是数组 i 中的项目数，如果它已满，则为 2ⁱ。

我确定（或者至少我希望！）有很多文本您没有粘贴，尽管您引用的文本足以弄清楚发生了什么。

您必须考虑添加项目时 n 的二进制表示会发生什么。

假设您有 11 个项目，因此 n=11。 11的二进制表示为1011，所以A₀、A₁、A₃是满的，A₂ 为空。每个完整数组中的项目数等于其二进制位值，因此项目总数为 11。

现在，当我们插入一个项目时，n 将变为 12。二进制表示现在是 1100。因此，A₀ 和 A₁ 被清空了，而 A₂ 被填充了，当然，我们从 A₀ 和 A₁，以及新项目。

每次插入时，可能有一些完整的数组必须清空，并且有一个空数组必须用它们的项和新的数组按排序顺序填充。这需要的时间与移动的项目数量成正比。

插入的摊销成本对于每个数组都是恒定的，因此插入的总摊销成本为 O(log N)。

搜索的成本是 O(log² N)，因为你必须在所有完整的数组中搜索。