通过 QR 分解、SVD（和 Cholesky 分解？）计算投影/帽子矩阵

Question

我正在尝试在 R 中计算任意 N x J 矩阵 S 的投影矩阵 P：

P = S (S'S) ^ -1 S'

我一直在尝试使用以下功能来执行此操作：

P <- function(S){
  output <- S %*% solve(t(S) %*% S) %*% t(S)
  return(output)
}

但是当我使用它时，我会得到如下所示的错误：

# Error in solve.default(t(S) %*% S, t(S), tol = 1e-07) : 
#  system is computationally singular: reciprocal condition number = 2.26005e-28

我认为这是数字下溢和/或不稳定的结果，正如在 r-help 和 here 等许多地方所讨论的那样，但我没有足够的经验使用 SVD 或 QR 分解来解决问题，否则将现有的代码付诸行动。我也试过建议的代码，就是把solve写成一个系统：

output <- S %*% solve (t(S) %*% S, t(S), tol=1e-7)

但还是不行。任何建议将不胜感激。

我很确定我的矩阵应该是可逆的并且没有任何共线性，只是因为我尝试使用正交虚拟变量矩阵对此进行测试，但它仍然不起作用。

另外，我想将此应用于相当大的矩阵，因此我正在寻找一个简洁的通用解决方案。

Answer 1

虽然OP已经一年多没有活跃了，但我还是决定发布一个答案。我会使用X 而不是S，因为在统计学中，我们经常需要线性回归上下文中的投影矩阵，其中X 是模型矩阵，y 是响应向量，而H = X(X'X)^{-1}X' 是帽子/投影矩阵，以便Hy 给出预测值。

这个答案假设了普通最小二乘的上下文。有关加权最小二乘，请参阅Get hat matrix from QR decomposition for weighted least square regression。

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概述

solve 基于通用方阵的 LU 分解。对于对称的X'X（应该由crossprod(X)而不是R中的t(X) %*% X计算，更多信息请阅读?crossprod），我们可以使用基于Choleksy分解的chol2inv。

但是，三角分解不如QR 分解稳定。这不难理解。如果X 有条件数kappa，X'X 将有条件数kappa ^ 2。这可能会导致很大的数值困难。你得到的错误信息：

# system is computationally singular: reciprocal condition number = 2.26005e-28

只是在说这个。 kappa ^ 2 大约是 e-28，比大约 e-16 的机器精度要小得多。使用容差tol = .Machine$double.eps，X'X 将被视为秩不足，因此 LU 和 Cholesky 分解将失效。

一般情况下，我们会在这种情况下切换到 SVD 或 QR，但 pivoted Cholesky 分解是另一种选择。

• SVD 是最稳定的方法，但成本太高；
• QR 非常稳定，计算成本适中，并且在实践中很常用；
• Pivoted Cholesky 速度快，具有可接受的稳定性。对于大型矩阵，这是首选。

下面，我将解释所有三种方法。

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使用 QR 分解

请注意，投影矩阵是与置换无关的，即，无论我们执行 QR 分解是否有旋转都无关紧要。

在 R 中，qr.default 可以调用 LINPACK 例程 DQRDC 进行非旋转 QR 分解，并调用 LAPACK 例程 DGEQP3 进行块旋转 QR 分解。让我们生成一个玩具矩阵并测试这两个选项：

set.seed(0); X <- matrix(rnorm(50), 10, 5)
qr_linpack <- qr.default(X)
qr_lapack <- qr.default(X, LAPACK = TRUE)

str(qr_linpack)
# List of 4
# $ qr   : num [1:10, 1:5] -3.79 -0.0861 0.3509 0.3357 0.1094 ...
# $ rank : int 5
# $ qraux: num [1:5] 1.33 1.37 1.03 1.01 1.15
# $ pivot: int [1:5] 1 2 3 4 5
# - attr(*, "class")= chr "qr"

str(qr_lapack)
# List of 4
# $ qr   : num [1:10, 1:5] -3.79 -0.0646 0.2632 0.2518 0.0821 ...
# $ rank : int 5
# $ qraux: num [1:5] 1.33 1.21 1.56 1.36 1.09
# $ pivot: int [1:5] 1 5 2 4 3
# - attr(*, "useLAPACK")= logi TRUE
# - attr(*, "class")= chr "qr"

注意$pivot 对于两个对象是不同的。

现在，我们定义一个包装函数来计算QQ'：

f <- function (QR) {
  ## thin Q-factor
  Q <- qr.qy(QR, diag(1, nrow = nrow(QR$qr), ncol = QR$rank))
  ## QQ'
  tcrossprod(Q)
  }

我们将看到qr_linpack 和qr_lapack 给出相同的投影矩阵：

H1 <- f(qr_linpack)
H2 <- f(qr_lapack)

mean(abs(H1 - H2))
# [1] 9.530571e-17

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使用奇异值分解

在 R 中，svd 计算奇异值分解。我们仍然使用上面的示例矩阵X：

SVD <- svd(X)

str(SVD)
# List of 3
# $ d: num [1:5] 4.321 3.667 2.158 1.904 0.876
# $ u: num [1:10, 1:5] -0.4108 -0.0646 -0.2643 -0.1734 0.1007 ...
# $ v: num [1:5, 1:5] -0.766 0.164 0.176 0.383 -0.457 ...

H3 <- tcrossprod(SVD$u)

mean(abs(H1 - H3))
# [1] 1.311668e-16

同样，我们得到相同的投影矩阵。

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使用 Pivoted Cholesky 分解

为了演示，我们还是使用上面的例子X。

## pivoted Chol for `X'X`; we want lower triangular factor `L = R'`:
## we also suppress possible rank-deficient warnings (no harm at all!)
L <- t(suppressWarnings(chol(crossprod(X), pivot = TRUE)))

str(L)
# num [1:5, 1:5] 3.79 0.552 -0.82 -1.179 -0.182 ...
# - attr(*, "pivot")= int [1:5] 1 5 2 4 3
# - attr(*, "rank")= int 5

## compute `Q'`
r <- attr(L, "rank")
piv <- attr(L, "pivot")
Qt <- forwardsolve(L, t(X[, piv]), r)

## P = QQ'
H4 <- crossprod(Qt)

## compare
mean(abs(H1 - H4))
# [1] 6.983997e-17

同样，我们得到相同的投影矩阵。