估计模拟数据上两个 x 值之间范围内的概率密度

Question

我想评估我模拟的数据的概率密度。

1. 我知道，如果我只想找到正态分布上单个 x 值的概率密度，我可以按以下方式使用 dnorm()：

dist_mean <- 10
dist_sd <- 0.2
prob_density_on_x_val <- dnorm(x = 9.9,
                               mean = dist_mean,
                               sd = dist_sd)

prob_density_on_x_val

[1] 1.760327

1. 但是，如果我想评估 模拟 数据中两个 x 值之间范围的概率密度，该怎么办？

dist_mean <- 10
dist_sd <- 0.2

## simulate 100,000 values from the normal distribution, 
## given specific mean and standard deviation.
set.seed(123)
random_vals <- rnorm(n = 100000,
                     mean = dist_mean,
                     sd = dist_sd)


hist(random_vals)

1. 我生成的 100,000 个值是原始值，它们确实具有正常的形状。但是，这不是概率密度函数，因为曲线下的面积不等于 1。

library("pracma")
trapz(random_vals)

random_vals
[1] 1000009

我的问题：

1. 根据我的模拟数据，如何为其创建概率密度函数？
2. 创建后，对于两个 x 值之间的范围，我如何估计：(1) 曲线下的概率，和 (2) 曲线上的概率密度？例如，x=9.7 和 10.2 之间的概率和概率密度。或任何其他范围。

我试图解决这个问题：

在this comment 中，@Glen_b 说使用ecdf() 是在两个x 值“a”和“b”之间的范围内计算概率的方法：ecdf(b)-ecdf(a)。但是，有些事情没有意义，因为：

cdf <- ecdf(random_vals)
range_density <- cdf(10.2)-cdf(9.7)

range_density
[1] 0.77358

一个点值 (x=9.9) 上的概率密度怎么可能是 1.76，但是对于一个范围 9.7<x<10.2 它更小 (0.77)？两种分布（用dnorm 定义的一种和用rnorm 模拟的一种）具有相同的均值和标准差。

所以我认为我缺少一些基本的东西，如果能提供任何帮助，我将不胜感激。总的来说，这似乎是一个非常简单的问题，但是尽管进行了大量的阅读和挖掘，我还是找不到一个直接的解决方案。

谢谢！

编辑

我缺少的是：

• 一系列x值的概率：pdf曲线下的面积
• 特定 x 值的概率密度：给定 x 值的函数值（这就是 dnorm() 的用处）
• 范围的概率密度 沿着 pdf 曲线，在两个 x 值之间（选择的答案 + cmets 地址）

Answer 1

在连续概率函数中计算单个值的概率是没有意义的，根据定义它为零，但您可以计算相对可能性。你对random_vals 的反应不等于一，但不是prob_density_on_x_val 不止一吗？

Glen 当然是正确的，因为 ecdf() 是进行非参数估计的方法，但如果您期望正态分布，您也可以进行参数估计。

dist_mean <- 10
dist_sd <- 0.2
a <- 9.7
b <- 10.2

set.seed(123)
r <- rnorm(1e4, dist_mean, dist_sd)

# population
pnorm(b, dist_mean, dist_sd) - pnorm(a, dist_mean, dist_sd)
# [1] 0.7745375

# parametric estimate
pnorm(b, mean(r), sd(r)) - pnorm(a, mean(r), sd(r))
# [1] 0.7753985

# nonparametric estimate
ecdfun <- ecdf(r)
ecdfun(b) - ecdfun(a)
# [1] 0.7754

Answer 2

您可以使用函数density 和approxfun 获得概率密度函数。

DensityFunction = approxfun(density(random_vals), rule=2)
DensityFunction(9.7)
[1] 0.6410087
plot(DensityFunction, xlim=c(9,11))

你可以使用integrate得到曲线下的面积

AreaUnderCurve = function(lower, upper) {
    integrate(DensityFunction, lower=lower, upper=upper) }

AreaUnderCurve(10,11)
0.5006116 with absolute error < 6.4e-05
AreaUnderCurve(9.5,10.5)
0.9882601 with absolute error < 0.00011

你还问：

点值上的概率密度怎么可能 (x=9.9) 为 1.76，但范围为 9.7

pdf (1.76) 的值是曲线的高度。您获得的范围值是曲线下的面积。由于区间的宽度为0.5，曲线下面积小于高度也就不足为奇了。