实现数字滤波器 - 通过卷积或差分方程？答案

【问题标题】：Implementing a digital filter - via convolution or difference equation?实现数字滤波器 - 通过卷积或差分方程？
【发布时间】：2012-01-15 06:38:44
【问题描述】：

我是一位经验丰富的软件工程师，我在大学里参加过一些 EE 课程。我在 iPhone 和 Android 上编程，我想为实时麦克风和加速度计数据实现数字滤波器（例如低通、带通、带阻等）。

我知道有多种等效方法可以在时域样本窗口上实现数字滤波器。我正在研究的两种方法是：

直接在 C/Java 代码中实现 差分方程（例如 y[i] = y[i-1] + 2 * x[i])。我相信这可以在 O(N) 时间内运行，其中 N 是样本窗口的长度，例如N=512。
实现样本窗口和样本窗口之间的卷积 FIR 滤波器的时域表示，通常是某种形式的 sinc 功能。不久前我问过this question。这可以在 O(N lg N) 如果您使用涉及 FFT 和 IFFT 的快速卷积。

现在，通过阅读各种在线资源，我发现 C/Java 编程的首选传统智慧方法是上面的 (1)，实现差分方程。这是一个正确的结论吗？

这是我发现的：

总之，我的问题是：

【问题讨论】：

三个问题： 1. 如果你实现你的过滤器为 y[n] = x[n] + 2*x[n-1] + 3*x[n-2] + 1*x [n-3]，你会称之为差分方程还是卷积？ 2. 你想做 IIR 还是 FIR 滤波器？ 3.定点还是浮点实现？
1.我认为这是一个差分方程，对吧？卷积运算使用信号和 FFT 值之间的典型乘加运算，而快速卷积使用 FFT 和 IFFT。 2. IIR 或 FIR 无所谓，只要它快，但如果我没记错的话，FIR 总是稳定的，但需要更多的系数。 3. 我猜是浮点数，因为麦克风和加速度计数据可以是浮点数？

【解决方案1】：

时域差分方程是卷积。您使用基于 FFT 的方法想到的是 频域卷积 又名 快速卷积，这实际上只是一种性能优化 - 它在数学上等同于时域卷积。通常，对于较小的滤波器长度，直接时域卷积更快，而当滤波器长度较大时，频域方法获胜。根据经验，对于一维过滤，“大”意味着 N > 50。

在上面的段落中，我们只讨论了 FIR 滤波器。对于 IIR 滤波器，频域卷积不是一种选择（除非您在某个任意点截断脉冲响应），但通常 IIR 滤波器与 FIR 滤波器相比往往相对较短。

为了生成滤波器系数（即设计滤波器），您通常从滤波器规范开始，然后使用许多现有软件包之一来生成系数。如果你真的想要，你可以实现你自己的过滤器设计例程——看看算法，比如Remez exchange。

【讨论】：

我认为差分方程，例如 y[i] = 2 * x[i-1]，只对时域信号起作用，其中 x[] 是输入，y[]是输出，如下所示：ccrma.stanford.edu/~jos/fp/Difference_Equation_I.html。另一方面，卷积涉及时域信号和滤波器的系数，运算涉及乘加，即：sum_over_k(x[k] * h[nk])，其中x[]为输入信号和 h[] 包含滤波器系数，如下所示：songho.ca/dsp/convolution/convolution.html。这些不一样，对吧？
当您在右侧只有 x 项和系数而在左侧只有 y 时，它们 是相同的，如上面的示例所示。这只是时域中的 FIR 滤波器。
你是说 (i) 差分方程和 (ii) 带有求和的卷积公式在数学上是等价的吗？我知道它们产生相同的输出，但据我所知，它们是替代途径，实施方式不同。例如，差分方程为 O(n)，而卷积为 O(n^2)（或快速卷积为 O(n lg n)）。
如果滤波器长度为m，数据长度为n，则每个输出点的复杂度为O(m)，n的整个卷积的复杂度- m + 1 个输出点为 O(m*n)。
对于上面的 y[i] = 2 * x[i - 1] 示例，这相当于 2*z^-1 或 h[] = { 0, 2 } 的 Z 变换.

【解决方案2】：

如果满足您的滤波器规范，低阶 IIR 滤波器（使用短差分方程）的计算速度可能比 FIR 卷积或使用 FFT 的快速卷积快得多。它们也类似于电路设计人员可能熟悉的低元件数模拟滤波器。

如果您没有复杂的滤波器规范或要求（在少数极点和零点中无法足够接近地近似），为什么要在 FIR 或 FFT 上消耗更多 CPU 周期？但是，如果您确实需要更专业的过滤器，那么您就需要。

这里有一个非常常用的方法来确定IIR coefficients for biquads。双二阶 IIR 滤波器也可以级联以进行更高阶的滤波。

【讨论】：

【解决方案3】：

我将支持使用传统时域数字滤波器的建议，即使用延迟、加法器和乘法器。对于简单的实时过滤，这种方法可能更快且更简单。

根据目标，在实时应用程序中使用 FFT 可以。例如，如果您想进行实时频谱分析（例如，对于涉及音频的机器学习任务），那么 FFT 可以很好地工作，因为它们快速、简单并且可以提供高频谱分辨率。

您对 FIR 与 IIR 的评论是正确的。如果您给出一些（示例）滤波器规范，那么我们可能会在选择哪种滤波器类型以及如何定义滤波器抽头（即系数）方面提供更多帮助。例如，如果您可以使用 Matlab 或 Python-Scipy，则可以使用它们来设计您的过滤器。

（查看dsp.stackexchange 了解有关信号处理的更多信息。）

【讨论】：