从循环索引 k 中，获得 i < j 的对 i,j？答案

【问题标题】：From a loop index k, obtain pairs i,j with i < j?从循环索引 k 中，获得 i < j 的对 i,j？
【发布时间】：2014-11-25 13:35:32
【问题描述】：

我需要遍历所有对 i,j 和 0 <= i < n、0 <= j < n 和 i < j 以获得一些正整数 n。

问题是我只能遍历另一个变量，比如k。我可以控制k 的范围。所以问题是确定两种算术方法，f(k) 和g(k) 使得i=f(k) 和j=g(k) 遍历所有允许的对，因为k 遍历其连续值。

我怎样才能以简单的方式做到这一点？

【问题讨论】：

遍历顺序重要吗？如果是，请指定所需的顺序。
@NPE 遍历顺序无关紧要，只要所有对都只遍历一次即可。
这是你要找的{(f(k), g(k)) | 0 <= f(k) < n, 0 <= g(k) < n, f(k) < g(k) }吗？ k的界限是多少？什么是 f(k) 和 g(k)？
@LoganMurphy 是的。我们想要一个方法F(k)(=(f(k),g(k)))，它接受k并返回一对(i,j)，这样i < j、0<=i<n和0<=j<n，当k取值在一个合适的范围内时，所有这些对只出现一次。
有趣的问题。有些东西告诉我，这可能有一个优雅的算法，但我正在努力想出一个。 :-)

标签： algorithm loops matrix mapping integer-arithmetic

【解决方案1】：

我不确定是否完全理解这个问题，但总结一下，如果 0

for (int k = 0; k < n*n; k++) {
    int i = k / n;
    int j = k % n;
    // ...
}

[edit] 我刚刚看到 i

【讨论】：

没错，如果不是i < j 限制，这将是解决方案。我怀疑实际的解决方案不会离这个太远

【解决方案2】：

我想我明白了（在 Python 中）：

def get_ij(n, k):
  j = k // (n - 1)  # // is integer (truncating) division
  i = k - j * (n - 1)
  if i >= j:
    i = (n - 2) - i
    j = (n - 1) - j
  return i, j

for n in range(2, 6):
  print n, sorted(get_ij(n, k) for k in range(n * (n - 1) / 2))

它基本上将矩阵折叠成（几乎）矩形。 “几乎”是指底行最右侧可能有一些未使用的条目。

下图说明了 n=4 的折叠方式：

并且 n=5：

现在，遍历矩形很容易，从折叠坐标映射回原始三角矩阵中的坐标也是如此。

优点：使用简单的整数数学。

缺点：以奇怪的顺序返回元组。

【讨论】：

【解决方案3】：

我想我找到了另一种方法，即按字典顺序给出对。注意这里是i > j 而不是i < j。

该算法基本上由两个表达式组成：

i = floor((1 + sqrt(1 + 8*k))/2)
j = k - i*(i - 1)/2

将i,j 作为k 的函数。这里k 是一个从零开始的索引。

优点：按字典顺序给出对。

缺点：依赖于浮点运算。

理由：

我们要实现下表中的映射：

k -> (i,j)
0 -> (1,0)
1 -> (2,0)
2 -> (2,1)
3 -> (3,0)
4 -> (3,1)
5 -> (3,2)
....

我们首先考虑逆映射(i,j) -> k。不难发现：

k = i*(i-1)/2 + j

由于j < i，所以k对应所有对(i,j)和固定i的值满足：

i*(i-1)/2 <= k < i*(i+1)/2

因此，给定k，i=f(k) 返回最大整数i，使得i*(i-1)/2 <= k。经过一些代数：

i = f(k) = floor((1 + sqrt(1 + 8*k))/2)

在我们找到i 的值后，j 被简单地给出

j = k - i*(i-1)/2

【讨论】：

很高兴看到证明/推导/插图以了解其工作原理。第二行看起来很清楚，但第一行有点神秘（至少对我疲惫的昏昏欲睡的大脑来说）。
@NPE 我会写一些东西。我只是想先把它弄清楚。
我已经对此进行了简短的测试，它似乎确实有效（以我尚未测试或考虑过的浮点数学的任何潜在问题为模）。
@NPE 添加了一些解释。
stackoverflow.com/questions/1100090/…

【解决方案4】：

如果我们用数字三角形来考虑我们的解决方案，其中k 是序列

1 
2  3 
4  5  6 
7  8  9  10
11 12 13 14 15
...

那么j 将是我们的（非从零开始的）行号，即最大整数使得

j * (j - 1) / 2 < k

Solving 为j：

j = ceiling ((sqrt (1 + 8 * k) - 1) / 2)

而i 将是k 在行中的（从零开始的）位置

i = k - j * (j - 1) / 2 - 1

k 的范围是：

1 <= k <= n * (n - 1) / 2

【讨论】：

【解决方案5】：

实际上有两个算术函数 f(k) 和 g(k) 这样做重要吗？因为您可以先创建一个列表，例如

L = []
for i in range(n-1):
    for j in range(n):
        if j>i:
            L.append((i,j))

这将为您提供您要求的所有对。您的变量 k 现在可以沿着列表的索引运行。例如，如果我们取 n=5，

for x in L:
    print(x)

给我们

(0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

假设你有 2

for k in range(2, 5)
    print L[k]

产量

(0,3), (0,4), (1,2)

【讨论】：