掷硬币：n 次试验中期望值的试验频率

Question

我正在模拟 10 次抛硬币中出现反面的概率，并运行该游戏 n 次。 说

n = 100, total_tosses = n * 10 = 10000

n = 1000, total_tosses = n * 10 = 100000

n = 100000, total_tosses = n * 10 = 1000000

我知道抛硬币的期望值为 0.5

在 10 次试验中，我预计有 5/10 个反面

但是模拟 10 次试验 n 次会产生一些有趣的结果，我无法理解......

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns; sns.set()

# will return 1d array of 10 coin tosses in a single trial.
# = [1,0, ... 1,1] len = 10
def coin_game(num_flips):
    coin_tosses = []
    for x in range(num_flips):
        coin = np.random.randint(2)
        coin_tosses.append(coin)
    return coin_tosses

# will return 1d array with total num of tails, for each of the n trials.
# [3,5,2, ... 8,9,1] len = n
def run_sims(num_sims):
    num_tails = []
    for sim in range(num_sims):
        coin_tosses = coin_game(10)
        num_tails.append(sum(coin_tosses))
    return np.array(num_tails)

# ---Main---
num_trials = 10000
all_tails = run_sims(num_trials)
sns.countplot(all_tails)
plt.show()

为什么总试验次数与显示预期值的试验频率之间存在关系，即 5/10 次抛硬币是反面。

对于 1000 个试验：大约 250 个试验有 5/10 个尾巴

对于 10000 次试验：大约 2500 次试验有 5/10 个尾巴

对于 100000 次试验：大约 25000 次试验有 5/10 个尾巴

是什么导致了这种行为？

粗略地说，为什么 freq(5/10 tails) = n/4

Answer 1

这只是基本概率（更具体地说是二项分布）。您有一个2^10 可能的结果，其中 252 个结果是“成功”（包含 5 个尾部）。这就是为什么您会看到大约n/4 的这些结果。

在更一般的意义上，您可以使用以下公式解决此问题：

其中n 是试验次数，k 是成功次数，p 是成功概率。

对于您的问题，结果是：

(10! / 5!(10 - 5)!) * (1 / 2)^5 * (1 - 1/2)^5 == 0.24609375