快速多体重力算法？答案

【问题标题】：Fast multi-body gravity algorithm?快速多体重力算法？
【发布时间】：2011-12-28 05:39:15
【问题描述】：

我正在编写一个程序来模拟 n 体重力系统，其精度任意好取决于我在每一步之间采取的“时间”步长有多小。现在，它对多达 500 个物体的运行速度非常快，但在那之后它变得非常慢，因为它必须通过一个算法来确定每次迭代时每对物体之间施加的力。这是复杂度 n(n+1)/2 = O(n^2)，所以它很快变得非常糟糕也就不足为奇了。我想最昂贵的操作是我通过取平方根来确定每对之间的距离。因此，在伪代码中，这就是我的算法当前的运行方式：

for (i = 1 to number of bodies - 1) {
  for (j = i to number of bodies) {
   (determining the force between the two objects i and j,
    whose most costly operation is a square root)
  }
}

那么，有什么办法可以优化这个吗？有什么花哨的算法可以通过快速修改重用过去迭代中使用的距离吗？有什么有损方法可以减少这个问题吗？也许通过忽略 x 或 y 坐标（它是二维的）超过一定数量的物体之间的关系，由它们的质量的乘积决定？抱歉，如果这听起来像我在漫无边际，但我能做些什么来加快速度吗？我宁愿保持任意精确，但如果有解决方案可以降低这个问题的复杂性，但会牺牲一点精确度，我很想听听。

谢谢。

【问题讨论】：

也许我很密集，但你不知道用 sqrt(x^2 + y^2) 得到距离，然后立即用 G*m1*m2/r^2 平方到得到力量？你不能完全去掉平方根吗？
@JamesMoughan 这行不通。因为你不想计算力的绝对值，而是力矢量。在这个公式中你得到r_vec/Abs(r)^3
但这里的主要问题不是平方根的成本。这是该算法在对象数量上是二次方的。使用将对象组合在一起的近似值，您可以将其缩减为 n*log(n) 或类似的东西。
你可以像詹姆斯所说的那样把平方根全部去掉。我刚刚测试了两种方式，结果相同。

标签： java optimization simulation gravity

【解决方案1】：

一种好的有损方法是运行clustering algorithm 将主体聚集在一起。

some 聚类算法的速度相当快，诀窍是不要在每个滴答声中都运行聚类算法。而是每隔 C 滴答 (C>1) 运行一次。

然后对于每个簇，计算簇中所有物体之间的力，然后为每个簇计算簇之间的力。

这将是有损的，但我认为这是一个好方法。

你必须摆弄：

使用哪种聚类算法：有些更快，有些更准确。有些是确定性的，有些不是。
多长时间运行一次聚类算法：运行越少越快，运行越多准确。
集群的大小：大多数集群算法允许您对集群的大小进行一些输入。您允许的集群越大，输出越快，但准确度越低。

所以这将是一场速度与准确性的博弈，但至少通过这种方式，您将能够牺牲一些准确性来获得一些速度提升 - 以您目前的方法，您无能为力真正调整。

【讨论】：

【解决方案2】：

看看this question。您可以将对象划分为网格，并利用可以将许多遥远的对象视为单个对象的事实进行良好的近似。一个细胞的质量等于它所包含的物体的质量之和。一个细胞的质心可以被视为细胞本身的中心，或者更准确地说是它所包含的对象的barycenter。在平均情况下，我认为这会给你 O(n log n) 性能，而不是 O(n^{2 sup>)，因为您仍然需要计算每个 n 个对象上的重力，但每个对象仅单独与附近的对象相互作用。}

假设您使用 r² = x² + y²，然后用 F = Gm₁m计算力i>₂ / r²，您根本不需要执行平方根。如果您确实需要实际距离，可以使用fast inverse square root。你也可以使用fixed-point arithmetic。

【讨论】：

不确定如何避免平方根。
另外我也不推荐定点。与它们一起工作很烦人，而且我预计不会有显着的性能提升。我宁愿研究来自 SSE 的矢量指令，它可以同时处理多个浮点数。

【解决方案3】：

您可能想尝试不太精确的平方根版本。您可能不需要完整的双精度。特别是如果您的坐标系的数量级通常相同，那么您可以使用截断的泰勒级数很快地估计平方根运算，而不会放弃太多的效率。

【讨论】：