连通图是 Dijkstra 算法的要求吗？答案

【问题标题】：Is connected graph a requirement for Dijkstra algorithm?连通图是 Dijkstra 算法的要求吗？
【发布时间】：2022-10-05 23:26:20
【问题描述】：

除了具有非负权重的图之外，Dijkstra 算法是否需要连通性？例如。 dijkstra 算法是否适用于断开连接的图，其中 3 个顶点在一个组件中连接，另外 2 个顶点在另一个组件中？

如果您的图表断开连接，则算法要查找的组件之间没有路径，是吗？

标签： algorithm dijkstra

【解决方案1】：

这是 Dijkstra 的算法from Wikipedia：

标记所有未访问的节点。创建一个包含所有未访问节点的集合，称为未访问集。

为每个节点分配一个暂定距离值：对于我们的初始节点将其设置为零，对于所有其他节点将其设置为无穷大。在算法运行过程中，节点 v 的暂定距离是节点 v 与起始节点之间迄今为止发现的最短路径的长度。由于最初除了源本身（长度为零的路径）之外，任何其他顶点都不知道任何路径，因此所有其他暂定距离最初都设置为无穷大。将初始节点设置为当前节点。 [15]

对于当前节点，考虑其所有未访问的邻居并计算它们通过当前节点的暂定距离。将新计算的暂定距离与当前分配给邻居的距离进行比较，并将其分配为较小的距离。例如，如果当前节点 A 被标记为距离 6，并且连接它与邻居 B 的边的长度为 2，那么通过 A 到 B 的距离将是 6 + 2 = 8。如果 B 之前被标记为大于 8 的距离，然后将其更改为 8。否则，将保留当前值。

当我们考虑完当前节点的所有未访问邻居后，将当前节点标记为已访问并将其从未访问集中删除。将永远不会再次检查访问过的节点（这对于步骤 6 中的行为是有效且最佳的：下一个要访问的节点将始终按照“与初始节点的最小距离首先”的顺序，因此之后的任何访问都会距离更远）。

如果目标节点已被标记为已访问（在规划两个特定节点之间的路线时）或如果未访问集中的节点之间的最小暂定距离为无穷大（计划完整遍历时；发生在初始节点和剩余未访问节点之间没有连接时），则停止。算法完成。

否则，选择暂定距离最小的未访问节点，设置为新的当前节点，返回步骤3。
注意我强调的部分。这样一来，如果初始节点和目标节点之间没有路径，则一旦访问了初始节点组件中的所有节点，算法仍然会停止。

所以不，连接的图形不是必需的。该算法将告诉您路径是否存在。

【讨论】：

【解决方案2】：

根据维基百科上的伪代码中给出的 Djikstra 算法（为方便起见，复制如下），与源的断开顶点距离将保持为INFINITY。您的问题的答案是否定的，即使图表断开连接，Dijkstra 的算法仍然会返回正确的结果。

 1  function Dijkstra(Graph, source):
 2      
 3      for each vertex v in Graph.Vertices:
 4          dist[v] ← INFINITY
 5          prev[v] ← UNDEFINED
 6          add v to Q
 7      dist[source] ← 0
 8      
 9      while Q is not empty:
10          u ← vertex in Q with min dist[u]
11          remove u from Q
12          
13          for each neighbor v of u still in Q:
14              alt ← dist[u] + Graph.Edges(u, v)
15              if alt < dist[v]:
16                  dist[v] ← alt
17                  prev[v] ← u
18
19      return dist[], prev[]

【讨论】：