在不使用任何库的情况下对矩阵 A 进行对角化

Question

如何使用双嵌套循环创建由三个特征向量列组成的矩阵 P。

from sympy.matrices import Matrix, zeros
from sympy import pprint

A = Matrix([[6,2,6], [2,6,6], [6,6,2]])
ew_A = A.eigenvals()
ev_A = A.eigenvects()
pprint(ew_A)
pprint(ev_A)


# Matrix P
(n,m) = A.shape 
P = TODO  # Initialising

# "filling Matrix P with ... 
for i in TODO: 
    for j in TODO:
        P[:,i+j] = TODO
    
## Calculating Diagonalmatrix
D= P**-1*P*A

非常感谢提前

Answer 1

求矩阵的特征值，或将其对角化，等同于求多项式的零点，其次数等于矩阵的大小。因此，在您的情况下，对 3x3 矩阵进行对角化等效于找到 3 次多项式的零点。也许有一个简单的算法可以解决这个问题，但数学家总是选择一般情况。

在一般情况下，您可以证明没有找到 5 次或更高次多项式的零点的终止算法（即所谓的伽罗瓦理论），因此也没有简单的“三重循环”算法大小为 5x5 及更大的矩阵。特征值软件通过迭代逼近算法工作，因此这是围绕一些有限循环的“while”循环。

这意味着您的问题在一般情况下没有答案。在 3x3 的情况下也许可以，但即使这样也不会非常简单。