查找最多具有 k 个奇数元素的不同连续子数组的数量

Question

给定一个整数数组 nums，找出最多有 k 个奇数元素的不同连续子数组的数量。当两个子数组至少有一个不同的元素时，它们是不同的。

我能够在 O(n^2) 中做到这一点。但需要 O(nlogn) 的解决方案。

示例 1：

Input: nums = [3, 2, 3, 4], k = 1
Output: 7 
Explanation: [3], [2], [4], [3, 2], [2, 3], [3, 4], [2, 3, 4]
Note we did not count [3, 2, 3] since it has more than k odd elements.

示例 2：

Input: nums = [1, 3, 9, 5], k = 2
Output: 7
Explanation: [1], [3], [9], [5], [1, 3], [3, 9], [9, 5]

示例 3：

Input: nums = [3, 2, 3, 2], k = 1
Output: 5
Explanation: [3], [2], [3, 2], [2, 3], [2, 3, 2]
[3], [2], [3, 2] - duplicates
[3, 2, 3], [3, 2, 3, 2] - more than k odd elements

示例 4：

Input: nums = [2, 2, 5, 6, 9, 2, 11, 9, 2, 11, 12], k = 1
Output: 18

Answer 1

我们可以通过两步过程以次二次复杂度解决这个问题。首先使用两个指针勾勒出相关的窗口，我们将使用它们来构建一个通用的后缀树。我们可以通过注意每个重叠将仅插入两次来证明所有窗口的长度为 O(n)。第一个窗口是通过从第一个元素尽可能向右扩展来构建的，我们可以保留一个有效的子数组。通过 (1) 在下一个奇数元素之后扩展左指针，以及 (2) 将右指针扩展至我们可以保留有效子数组的位置，从而创建后续窗口。

Example 1:

3, 2, 3, 2
k = 1

windows: [3 2], [2 3 2]


Example 2:

1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5
k = 2

windows:
[1 2 2 2 3 4 4], [2 2 2 3 4 4 5], [4 4 5 5] 

构建一个通用的后缀树。不同子集的计数将等于存储在树中的后缀的累积长度之和。 （“累积长度”是指：例如，给定后缀“abc”，我们将添加 1 + 2 + 3，每次从后缀的开头延伸得更远。或者通过公式 n * (n + 1) / 2 )

正如 kcsquared 指出的 in the comments，不需要通用后缀树。相反，我们可以使用一种已知的方法来“计算具有后缀数组和最长公共前缀数组的不同子字符串的总数，但不是对 n - suffix_array_elements 求和，...将 n 替换为该索引的最大右边界。”

Answer 2

考虑一个完全由奇数元素组成的数组。

结果子数组的数量是n*k。 如果k 等于n，那么子数组的数量就是~n*n。

所以，您想使用 O(nlogn) 操作找到 ~n*n 子数组。

我怀疑是否存在具有要求的复杂性的算法。

Answer 3

如果我们只需要输出子数组的数量，那么我相信它可以在 O(n) 时间复杂度中使用两个指针方法 + 滑动窗口来完成。