用 julia 计算特征向量时失去对称性

Question

有人能指出为什么 julia 在对某些类型的矩阵进行对角化时会失去对称性吗？ （在下文中，我将忽略归一化常数。）我一直在尝试解决以下 Floquet 矩阵：

U[i,i] = exp(-i^2im/N),

N 矩阵和其他组件的维数为零。显然，这是哈密顿量的“时间演化”

H = p^2/2.

这个H在奇偶校验下是对称的，在站点基础Us = Udft'U*Udft中U也是如此（Udft是离散傅里叶矩阵s.t.Udft[m,mp] = sqrt(N)^-1 exp(i*j*1im/N)见下文），也就是说，可以检查一下

Jp*Us - Us*Jp = 0,

在哪里

Jp[i,j] = \delta_{i,N-j+1}

是空间反转矩阵。然而，本征态不满足奇偶性。如果vs 是Us 的本征态，那么

Jp*vs = \pm vs,

Julia 给出的数值结果不会发生这种情况。这有点奇怪，因为对于低维，比如N=11 没有问题，但是如果我去，比如N=1001，那么麻烦就开始出现了。 （在某些情况下，我希望 N 是奇数。原因是我的粒子被限制在酉圆上移动，并且我希望这些位置围绕零角对称。）为了对角化，我使用 Julia 1.2.0和

 LinearAlgebra.eigen(Us).

附录： 感谢 SGJ 指出 DFT 中的明显错误。构建矩阵我做

M = div(N,2)
m = 1
for ii in -M:M
    mp = 1
    for jj in -M:M
        U[m,mp] = exp(2.0im*pi*ii*jj/Nsites) #                             
        mp += 1
    end
    m += 1
end

因此正负频率进入 DFT 并在从 -N/2 到 N/2 的动量零附近对称选择，其中使用整数除法。

Answer 1

首先，舍入误差通常会稍微破坏对称性，因此镜像对称性的微小差异（相对误差norm(Jp*vs - ±vs)/norm(vs) < 1e-12）不应成为问题。

其次，p^2算子的能量特征值是双重简并（左行波和右行波具有相同的能量），简并态的奇偶性不由对称性保证。简并偶数和奇数特征函数（=驻波）的任何线性组合也是一个特征函数，因此您可以制作非对称特征函数（例如左行波而不是驻波）。当你有简并时，正确的说法是你可以选择一个特征函数基，它也是一个奇偶特征函数。但是，Julia 的 eigen 操作（标准 LAPACK 算法）基本上为退化的特征空间选择了一个“随机”基础，因此它不一定是您想要的。

第三，您似乎没有正确使用离散傅里叶变换 (DFT)。您实际上是在使用 DFT 在平面波（动量空间）基础上表达二阶导数运算符 (p^2)，但您发布的答案忘记了混叠 - 您确实需要同时具有 正负频率。也就是说，一半术语的频率应与i-1 成正比（由于 Julia 基于 1 的索引），另一半与N+1-i 成正比。这在许多来源中有详细解释，例如these notes.