赛车拼图答案

【问题标题】：Race Car Puzzle赛车拼图
【发布时间】：2011-03-17 03:02:33
【问题描述】：

你能帮我解决这个我找不到好的答案的谜题吗！

有 49 辆赛车以独特的速度比赛。还有一条赛道，最多可以让 7 辆车一起比赛。我们需要找到组中第 25 快的汽车。我们没有秒表来测量时间（所以我们只能测量每辆车相对于比赛中其他 6 辆车的相对速度）。最少需要多少场比赛？

【问题讨论】：

您是要求我们这样做，还是您是需要帮助的人？
您的标签具有误导性 - 算法、数据结构，在您的问题中，您是在寻求难题的答案。你想要什么？
@pavanred，使用算法和 DS，我想要一个谜题的答案（以下是 3 个标签）
您是在问“最少需要多少场比赛？”在最好的情况下，还是在最坏的（一般）情况下？
@belisarius：下限严格大于 7 场比赛。您需要对所有汽车进行比赛才能知道它们的相对速度是多少，并且您至少可以做到 7，但是您有 7 个不相交的集合，没有相关信息。无论如何， sorted 在这种情况下没有相关意义。您有 49 辆汽车，它们没有分配编号，您分配给它们的任何顺序都是您自己的。

【解决方案1】：

遵循辩证法的灵感。分成 7 个随机组并与每个组比赛，然后与这些组的中位数比赛。这辆车成为支点，我们已经直接或间接地知道它与其他 30 辆汽车的关系（这是中位数的属性）。所以把它放在一起。其他 18 场比赛我们需要进行 3 场比赛，包括支点。旋转后，我们最多需要递归 33 辆汽车。继续。我最终参加了 29 场比赛。即使您假设需要完整排序，但实际上并非如此，17 场比赛也有一个下限（真正的下限会更低），远小于 29 场。所以我怀疑这不是正确的答案，但由于这一直缺乏任何解决方案，这是一个次优的解决方案。如果你看一下关于排序网络的研究（这个问题是一次仅限于两辆车的比赛），找到最优网络是很困难的，最优网络仅适用于非常小的尺寸，绝对不超过 49。我不知道任何关于具有 7 路比较器的网络的研究。

也许有一个例子可以提供帮助。假设将汽车从最慢到最快编号，然后将它们排列在一个 7x7 矩阵中（任意排列，因为在比赛之前我们不知道速度）。

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,]   34   25   45   43   26   21   13
[2,]   11   24    2   40   14   30   32
[3,]   27   19   29   42    4   17   46
[4,]   15   10   39   33    1    9    5
[5,]   28   18   41    8   23   20    6
[6,]   16    3   38    7   12   22   36
[7,]   31   44   48   35   49   37   47

然后让我们对每一列进行比赛，并根据比赛结果对它们进行排序：

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,]   11    3    2    7    1    9    5
[2,]   15   10   29    8    4   17    6
[3,]   16   18   38   33   12   20   13
[4,]   27   19   39   35   14   21   32
[5,]   28   24   41   40   23   22   36
[6,]   31   25   45   42   26   30   46
[7,]   34   44   48   43   49   37   47

现在让我们对第 4 行（中位数）进行比赛，并根据结果重新排列列

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
[1,]    1    3    9   11    5    7    2
[2,]    4   10   17   15    6    8   29
[3,]   12   18   20   16   13   33   38
[4,]   14   19   21   27   32   35   39
[5,]   23   24   22   28   36   40   41
[6,]   26   25   30   31   46   42   45
[7,]   49   44   37   34   47   43   48

现在观察中位数的中位数（元素 [4,4]）比上方和左侧的任何汽车都快，但比下方和右侧的任何汽车都慢（这是中位数的属性）。对于其他赛车（左下和右上）我们不知道，所以我们需要与 [4,4] 比赛，一次 6 场比赛（3 场比赛）。现在我们观察到 26 辆汽车比 [4,4] 慢，因此中位数必须是其中之一。无需再与其他任何人比赛。现在对这 26 辆汽车重复这个过程。

【讨论】：

这个解决方案的问题是，即使经过 8 次比较，您仍然不知道中位数在集合中的位置的中位数...因为唯一可以安全丢弃的象限是右下角

【解决方案2】：

我有一个只需要 17 场比赛的解决方案。

不过，首先让我解释一个需要 32 场比赛的简单解决方案。将汽车分成 7 组，每组 7 辆，每组比赛（7 场比赛）。重复 25 次：从每组中选出剩下的最快的汽车参加比赛，并将获胜者放在一边（25 场比赛）。 25 场比赛中的第一场决定了最快的赛车（#1），第二场比赛决定了#2，依此类推。

现在只有 17 场比赛的解决方案：

我们的策略是首先确定 24 辆最快的汽车（我们称这些汽车为“快速”）。然后我们会找到最快的（#25）。

将赛车随机放置在 7x7 网格上，并在每排比赛（7 场比赛）。然后，对每场比赛（第 8 场比赛）的第 3 名完赛者进行比赛，并按第 3 名完赛者的速度对行进行排序。

所以，经过 8 场比赛，我们得到了这样的结果：

每个网格单元代表一辆汽车。箭头指向更快的汽车。请注意，箭头是可传递的。

我们已经可以识别出 8 辆“快速”的汽车：

我们怎么知道它们速度很快？看看蓝色的“x”。只有 23 辆汽车可能比它快（那些不在右下角的 5x5 中）。所以，它肯定是“快速的”。您可以为其他 x 验证这一点。

我们已经确定了 24 辆“快速”汽车中的 8 辆。让我们从未来的考虑中删除这 8 个。我们现在正在寻找剩余汽车中最快的 16 辆。我们的七个组的尺寸分别为 4、4、5、7、7、7 和 7。（对于图表，每当我们移走一辆车时，让我们将剩余的车滑到左侧。）

让我们以每组剩余第二快的赛车进行比赛，并相应地对行进行排序（第 9 场比赛）。和以前一样，我们可以识别出 4 辆汽车，它们肯定是 16 辆最快的（即“快速”）：

我在可能被移除的汽车所在的单元格中着色，但这还没有效果。
我们已经确定了 12 辆“快速”汽车。去掉“快速”的汽车，我们在剩下的汽车中寻找最快的 12 辆。我们的团体人数在 2 到 7 人之间。让我们以每组剩余第二快的赛车进行比赛，并相应地对行进行排序（第 10 场比赛）。我们确定了 12 辆最快（即“快速”）中的 2 辆汽车：

（剩下 10 辆“快速”的汽车。）

我们可以再重复上一步两次（第 11 和第 12 场比赛）。每次我们多移走 2 辆车。但是，请注意，一行/组中可能有 0 或 1 辆汽车。如果其中有 1 辆车，我们将与那辆车比赛，而不是“剩余第二快”。如果那辆车赢了，我们就知道它是“快速”的，也是第二快的第二名车。在任何情况下，我们都会识别出 2 辆“快速”汽车。（剩下 6 辆“快速”的汽车。）

在 12 场比赛之后，我们已经确定并移除了 18 辆“快速”赛车。我们需要识别剩下的 6 辆“快速”汽车。

现在让我们简单地比赛每组中剩余最快的赛车（第 13 场比赛），并相应地对行进行排序。获胜者是“快速”。还剩 5 个。

在最后一场比赛之后，只有 2 辆赛车可能是剩余最快的赛车。蓝色的o：

此外，剩余第二快的汽车是蓝色“o”或绿色“o”。让我们来比赛这 5 辆车（第 14 场比赛），前两名完赛者肯定是“速度很快”。还剩 3 个。

让我们重复最后两个步骤/比赛来确定最后 3 辆快速赛车（第 15 和第 16 场比赛）。

因此，我们确定了 24 辆“快速”汽车。剩下的最快的车必须是第 25 快的。我们只需在每排/组（第 17 场比赛）中以最快的车比赛即可找到这辆车。

【讨论】：

我非常喜欢！尽管我不能确定它在每种情况下都有效。几个问题：当前排没有足够的赛车时，你会在最后 7 场比赛中做什么？例如，如果一排是空的，或者在第 14 和第 16 场比赛中的汽车数量少于适当数量？此外，你是如何得到这个解决方案的？从某种意义上说，这似乎是最佳选择，因为您不会将两辆车一起比赛两次，而且您不会获得比您需要的更多信息。但是有证据证明 17 是一个下限吗？
如果一行为空，只需将其从网格中删除。在第 14 和第 16 场比赛中，如果缺少一些 o，则将它们从比赛中省略。最快的 2 仍将在现有的 o 中。在找到 32 场比赛的“简单解决方案”后，很明显我可以做得更好！如果 17 是最佳值，我会感到震惊。我的三场比赛只能识别一辆车。
这看起来很有希望......我不是数学家，但这个问题一直困扰着我。现在我将不得不尝试编写脚本以查看它是否有效，以及何时有效:)
@Tom 我尝试了你的解决方案几次，它的工作和摇滚 :) 赏金是你的。谢谢！
@Tom，看起来你不会成为一个 F# 人，但如果你关心 take a look，我已经尝试实现它来测试它。从第 14 场比赛开始看起来不太好，我想是因为我没有正确理解你。（如果向下滚动，有一个示例输出）

【解决方案3】：

尝试其中一种算法

http://en.wikipedia.org/wiki/Quick_select

【讨论】：

我无法找到该算法在我的问题中的应用；因为我的输入集不是同时所有 49 辆车（而是我一次只能比赛 7 辆车并且知道它们的相对位置）；如果您能详细说明这将有所帮助。
查找“Median of Medians 算法”并将文本中的数字 5 替换为您的案例中的数字 7。
中位数的中位数不适用于第 25 快的汽车在其 7 辆汽车中不是第 4 快的情况。
@Dialectus，好主意，但它应该是一个答案。
@piccolbo，这只是一个想法，而不是完整的答案。我真的不知道如何实施该解决方案。

【解决方案4】：

http://www.sureinterview.com/shwqst/1062001

第一轮

（7 场比赛）将赛车分成 7 组，并获得每组内的顺序。
（1 场比赛）取 7 个中位数并得到顺序。找到中位数的中位数（表示为 o）。在下面的例子中，它是 34。
(3 个种族) 求中位数的排名。从左下角（25~33）和右上角（13~21）取6个元素，与o（34）比赛。 3轮之后，我们知道这个中位数在整个集合中的排名。最好的情况是 o 是全球中位数（第 25 快）。最坏的情况是 o 是第 16 或第 34 快的。

此示例显示了一种可能的最坏情况。

1   2   3   4   13  14  15  <- group 1
5   6   7   8   16  17  18 
9   10  11  12  19  20  21     ...
22  23  24  34  35  36  37
25  26  27  38  39  40  41  <- group 5
28  29  30  42  43  44  45  <- group 6
31  32  33  46  47  48  49  <- group 7

第二轮

我们想以二分搜索方式找到其他中位数的排名。

（3 场比赛）选择小于 34 的中位数，即 12。与左下角和右上角的汽车比赛。经过3场比赛，我们知道它的排名是12。

现在，这两个中位数之间的差距最多为 21，如本例所示。

第三轮

重新排列 21 辆汽车（>12 和

13  14  15  <- group 1
16  17  18 
19  20  21     ...
22  23  24
25  26  27  <- group 5
28  29  30  <- group 6
31  32  33  <- group 7

每一行仍然是排序的。

（1 场比赛）再次求中位数的中位数，即 23。
（1 种族）找到它的排名。经过这一步，我们知道上一步的车肯定排在第 23 位。
（1 个种族）类似于二分搜索，检查另一个中位数 29 的排名。
（1 场比赛）对 23 ~ 29（不包括）之间的所有赛车进行排序。找到第 25 快的汽车。

因此，最多需要 18 场比赛才能获得第 25 名最快的赛车。

【讨论】：

好方法！但是，假设在确定“o”为第 34 位之后，您会发现“高于”它的中位数为第 28 位（而不是第 12 位）。你还能在 18 场比赛中找到第 25 名吗？如果没有更多的逻辑，我认为你实际上需要 21 场比赛。在第 2 轮中，您提到“我们想以二进制搜索方式查找其他中位数的排名”，但您找到的是 12 而不是 8。此外，该算法非常好，但可能不是最优的。这是一个非常有趣的问题！
嗯，这个方法最坏的情况其实是像1 2 3 21 22 23 24 <- group 14 5 6 26 27 28 29 7 8 9 30 31 32 33 ...10 11 12 34 35 36 3713 14 15 38 39 40 41 <- group 516 17 18 42 43 44 45 <- group 619 20 25 46 47 48 49 <- group 7注意第一轮后（34找到)，左下角和右上角也按列排序。此信息有助于减少种族数量。

【解决方案5】：

你不能通过确定汽车的确切位置来迭代地划分池吗？

随机选择一辆车作为枢轴跑过其他 48 辆汽车，以 6 人一组的方式与枢轴车比赛您现在知道枢轴车的确切位置了。

现在对集合中您知道包含位置 25 的部分运行相同的过程。如果剩余分区中的元素少于七个，则很容易确定。

这种最坏情况下的性能确实非常可怕，但可以通过以某种半智能方式选择连续的枢轴来缓解。

【讨论】：

【解决方案6】：

你总是可以在 8 场比赛中解决它... 让我们拿一辆 Pivot Car 说 Car1 并在 8 场比赛中与所有其他汽车比赛，并在 Car1 上取其他汽车的相对速度。假设结果如下： Read Car#(Relative speed to Car1)

第 1 场比赛：Car1-(0)、Car2-(+10)、Car3(+5)、Car4(+7)、Car5(-3)、Car6(-4)、Car7(+1)

第 2 场比赛：Car1-(0)、Car8-(+10)、Car9(+5)、Car10(+7)、Car11(-3)、Car12(-4)、Car13(+1)

第 3 场比赛：Car1-(0)、Car14-(+11)、Car15(+4)、Car16(+6)、Car17(-4)、Car18(-10)、Car19(+2)

第 4 场比赛：Car1-(0)、Car20(+9)、Car21(+3)、Car22(+5)、Car23(-5)、Car24(-11)、Car25(+3)

第 5 场比赛：Car1-(0)、Car26-(+8)、Car27(+2)、Car28(+6)、Car29(-6)、Car30(-12)、Car31(+4)

第 6 场比赛：Car1-(0)、Car32-(+7)、Car33(+1)、Car34(+3)、Car35(-7)、Car36(-13)、Car37(+5)

第 7 场比赛：Car1-(0)、Car38-(+6)、Car39(-1)、Car40(+2)、Car41(-8)、Car42(-14)、Car43(+6)

第 8 场比赛：Car1-(0)、Car44-(+5)、Car45(-2)、Car46(+1)、Car47(-9)、Car48(-15)、Car49(+7)

由于 Car1 是枢纽车，并且每辆车的速度在所有比赛中都是一致的，所以我们可以将所有结果组合在一起。

如果您对相对速度（wrt car1）进行排序，您可以找出第 25 快的汽车。

【讨论】：

“我们没有秒表来测量时间”
不是时候...它的相对速度，您可以测量枢轴汽车 (Car1) 和其他汽车之间的相对速度。这就是为什么 Car1 的相对速度始终为 0，因为它是用自己测量的。
比赛会告诉你每辆车比枢轴车快还是慢，但不会告诉你快多少。（每场比赛后你不会得到任何数字——只有 7 辆车的排名）
这里引用问题中的一句话：“我们没有秒表来测量时间（所以我们只能测量每辆车相对于比赛中其他 6 辆车的相对速度）。 " ==> 这意味着我们可以测量相对速度。