二项式系数模 142857答案

【问题标题】：Binomial coefficient modulo 142857二项式系数模 142857
【发布时间】：2020-11-16 00:30:05
【问题描述】：

如何计算大 n 和 r 的二项式系数模 142857。 142857有什么特别之处吗？如果问题是模 p 其中p 是素数，那么我们可以使用卢卡斯定理，但对于 142857 应该做什么。

【问题讨论】：

请注意，因式分解会有所帮助，因为您可以使用 CRT 并计算模 11、13、27 和 37 的系数。
维基百科链接到关于Binary coefficients modulo prime powers的PDF
我实现了主要的幂算法，它在 power=1 时给出了正确的答案，但是当 power!=1 时，它对某些输入给出了错误的答案，对一些输入给出了正确的答案。我猜我的代码有问题。
对于任何感兴趣的人：here 是我在比赛期间接受的binomod 函数的实现。我在同一个文件中将它与crt_coprime 函数一起使用。

标签： algorithm math combinatorics binomial-coefficients

【解决方案1】：

您实际上可以在O(n) 时间内为任意m 计算C(n,k) % m。

诀窍是将n!、k! 和(n-k)! 计算为素幂向量，然后从第一个向量中减去后面的两个，然后将余数乘以模m。对于C(10, 4)，我们这样做：

10! = 2^8 * 3^4 * 5^2 * 7^1
 4! = 2^3 * 3^1
 6! = 2^4 * 3^2 * 5^1

因此

C(10,4) = 2^1 * 3^1 * 5^1 * 7^1

我们可以很容易地计算出这个mod m，因为没有除法。诀窍是在线性时间内计算n! 和朋友的分解。如果我们预先计算直到n 的素数，我们可以如下高效地执行此操作：显然，对于乘积1*2*...*9*10 中的每个偶数，我们得到2 的因子。对于每第四个数字，我们得到第二个，依此类推。因此n! 中的2 因子的数量是n/2 + n/4 + n/8 + ...（其中/ 是地板）。我们对剩余的素数做同样的事情，因为有小于n 的O(n/logn) 素数，并且我们对每个素数都做O(logn) 工作，所以分解是线性的。

在实践中，我会更隐含地编码如下：

func Binom(n, k, mod int) int {
    coef := 1
    sieve := make([]bool, n+1)
    for p := 2; p <= n; p++ {
        // If p is not sieved yet, it is a prime number
        if !sieve[p] {
            // Sieve of Eratosthenes
            for i := p*p; i <= n; i += p {
                sieve[i] = true
            }
            // Calculate influence of p on coef
            for pow := p; pow <= n; pow *= p {
                cnt := n/pow - k/pow - (n-k)/pow
                for j := 0; j < cnt; j++ {
                    coef *= p
                    coef %= mod
                }
            }
        }
    }
    return coef
}

这包括埃拉托色尼筛，因此如果素数已预先计算或使用更快的筛子筛分，则运行时间为 nloglogn 而不是 n。

【讨论】：

【解决方案2】：

算法是：

将基地分解为素数； 142857 = 3^3×11×13×37
以每个素数为模计算结果
使用中国剩余定理组合结果。

计算(n above k) mod p^q：

来源：http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/BinCoeff.pdf，定理 1

将(n!)_p定义为不能被p整除的数字1..n的乘积

在删除基址p 中的j 最低有效位后，将n_j 定义为n

将r定义为n-k

定义e_j为加k+r时的进位数，不计算j最低位的进位，以p为基数计算

将s 定义为1 如果p=2 & q>=3 和-1 否则

然后(n above k) mod p^q := p^e_0 * s^e_(q-1) * concatenate(j=d..0)( (n_j!)_p / ((k_j!)_p*(r_j!)_p) ) 与连接的每个术语计算结果的一个base-p 数字，最低的j 计算最低有效的非零数字。

【讨论】：

我想知道这有多快。你试过编码吗？我想将它与我的答案因式分解n 进行比较。
@ThomasAhle 我还没有尝试实现它，但是如果你要计算大于几百个数字的阶乘，你需要等待一段时间。
二项式是product [(k+1)..n]/product [1..(n-k)]，所以你仍然需要除法，你不能对任意数字取模。这就是这个问题的全部意义，不是吗？

【解决方案3】：

142857 的特殊之处在于 7 * 142857 = 999999 = 10^6 - 1。这是由费马小定理产生的一个因子，其中 a=10 和 p=7，产生模等价 10^7 == 10 （模式 7）。这意味着您可以在大多数情况下以 999999 为模数，并通过在最后除以 7 来减少最终模数。这样做的好处是，对于 k=1,2,3,6，模除法在 10^k 形式的表示基础中非常有效。在这种情况下，您所做的就是将数字组加在一起；这是casting out nines 的概括。

只有在硬件以 10 为底的乘法时，这种优化才真正有意义。这真的是说，如果你必须用纸和铅笔来做这件事，它会很好用。由于这个问题最近出现在一个在线比赛中，我想这正是问题的由来。

【讨论】：

999999 并不是一个比 142857 更适合使用的模数，所以我不明白这如何使问题更容易解决......无论如何你都需要 Granville
@NiklasB。您可以更轻松地手动进行计算。我想我从来没有说过这让软件实现变得更好。
但问题是如何计算该值？在这种情况下，142857 并没有什么特别之处
有人问这个问题：“142857有什么特别之处吗？”这就是我回答的问题。