A盒子中N个元素的排列？答案

【问题标题】：Permutation o N elements in A boxes?A盒子中N个元素的排列？
【发布时间】：2016-12-15 13:15:43
【问题描述】：

我试图找到所有可能的方法来将 N 个元素排列在 A 框中，其中框的顺序和元素的顺序无关紧要，但哪些元素一起放在同一个框中却很重要。例如，3 个盒子和 3 个元素的预期结果如下：

            box_1       box_2      box_3
case-1      [1,2,3]    []          []
case-2      [1,2]      [3]         []
case-3      [1,3]      [2]         []
case-4      [2,3]      [1]         []
case-5      [1]        [2]         [3]

这是一个类似但比这里提出的问题更普遍的问题：Enumeration of combinations of N balls in A boxes?

我将非常感谢您对此问题的任何贡献，最好使用 python 语言。

【问题讨论】：

标签： python combinations permutation enumeration

【解决方案1】：

这些被称为set partitions。可以在此处找到递归函数：Set partitions in Python。一个更有效的“自下而上”递归版本是这样的：

def generate_partitions(a):
    a = list(a)
    n = len(a)
    partition = [] # a list of lists, currently empty

    def assign(i):
        if i >= n:
            yield [list(part) for part in partition]
        else:
            # assign a[i] to an existing part
            for part in partition:
                part.append(a[i])
                yield from assign(i + 1)
                part.pop()

            # assign a[i] to a completely new part
            partition.append([a[i]])
            yield from assign(i + 1)
            partition.pop()

    if n:
        yield from assign(0)
    else:
        yield [[]]


for partition in generate_partitions([1,2,3]):
    print(*partition)

输出：

[1, 2, 3]
[1, 2] [3]
[1, 3] [2]
[1] [2, 3]
[1] [2] [3]

这不会像您的示例中那样生成空框，但增加生成器这样做是微不足道的。

有关迭代算法，请参阅 Michael Orlov (2002) 的“Efficient Generation of Set Partitions”。请注意，集合分区的数量非常快速增长，因此即使是迭代算法也需要一些时间来枚举即使是中等大小的集合的所有分区。

要计算设置分区的数量而不生成它们，请参阅Bell Numbers (OEIS A000110)。这是在 Python 中计算贝尔数的一种可能（不是很有效）的过程：

def bell(n):
    "-> the n'th Bell number."
    assert n >= 0, n

    # loop will execute at least once
    for b in bell_sequence(n): 
        pass 

    return b

def bell_sequence(n):
    """Yields the Bell numbers b(0),b(1)...b(n).

    This function requires O(n) auxiliary storage.
    """
    assert n >= 0, n
    # compute Bell numbers using the triangle scheme
    yield 1 # b(0)

    row = [1] + (n-1)*[0]

    for i in range(0, n):
        row[i] = row[0]

        for k in reversed(range(i)):
            row[k] += row[k + 1]

        yield row[0] # b(i + 1)

【讨论】：