n 的渐近增长选择 floor(n/2)答案

【问题标题】：the asymptotic growth of n choose floor(n/2)n 的渐近增长选择 floor(n/2)
【发布时间】：2020-02-29 02:47:22
【问题描述】：

如何找到 n choose floor(n/2) 的渐近增长？我试过了使用扩展并得到它等于

[n*(n-1)*........*(floor(n/2)+1)] / (n-floor(n/2))!

知道我该如何从那里去吗？任何帮助表示赞赏，更喜欢提示而不是答案

【问题讨论】：

尝试使用Stirling's approximation。
这个问题似乎是题外话，因为它是关于数学，而不是编程，因此属于 math.SE
@sds：我很想说这个问题足够笼统，并且您的答案背后的方法和结果在编程中足够重要，因此它属于 SO。我会保持打开状态。（我不会对许多其他类似的“数学问题”说同样的话——这个问题得到了我的特殊处理，因为二项式系数的渐近是许多重要问题的核心。 )
@tmyklebu：我同意你陈述的事实，但不同意你的结论；-)

【解决方案1】：

我同意上面的答案，但想提供更多深度。假设n 是偶数，我们有：

对于这个上限，我们在分子中使用Stirling's Approximation 的上限，在分母中使用下限（例如，我们想要最大的分子和最小的分母）。这将为我们提供上限：

然后我们将指数分布在分母中得到：

取消，将从分母移到分子并化简；我们得到：

按照与下限相同的过程，将斯特林的近似上限作为分母，将下限作为分子。这将产生：

然后我们知道它的下限是一些常数时间，它的上限是另一个常数时间。

因此，我们得出结论它的渐近增长是。

【讨论】：

【解决方案2】：

使用Stirling's approximation，你会得到

n! = \sqrt{2n\pi}(n/e)^n

如果你将它替换为 $\choose{n}{n/2}$，你最终应该得到

2^{n+1/2}/\sqrt{n\pi}

PS。您可能想在实际使用答案之前检查我的数学：-)

【讨论】：