LeetCode：唯一二叉搜索树计算

Question

给定 n，有多少个结构唯一的 BST（二叉搜索树）存储值 1...n？

例如， 给定 n = 3，总共有 5 个唯一的 BST。

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

我有这个解决方案：

/**
 * Solution:
 * DP
 * a BST can be destruct to root, left subtree and right subtree.
 * if the root is fixed, every combination of unique left/right subtrees forms
 * a unique BST.
 * Let a[n] = number of unique BST's given values 1..n, then
 * a[n] = a[0] * a[n-1]     // put 1 at root, 2...n right
 *      + a[1] * a[n-2]     // put 2 at root, 1 left, 3...n right
 *      + ...
 *      + a[n-1] * a[0]     // put n at root, 1...n-1 left
 */
int numTrees(int n) {
    if (n < 0) return 0;
    vector<int> trees(n+1, 0);
    trees[0] = 1;

    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for (int j = 0; j < i; j++) 
            trees[i] += trees[j] * trees[i-j-1];

    return trees[n];
} 

因为这个答案是很久以前给出的，无法触及这个 'dragonmigo' 家伙。 这个解决方案被接受了，我的问题是：

在注释中，trees[0] 指的是 case 1。 (0+1 = 1)

如果是这样，trees[n-1] 应该引用 case 1...n 而不是 case 2...n。 (n-1+1=n)

我的想法错了吗？

附言我知道这实际上是一个加泰罗尼亚数，我知道使用推导公式解决它的算法。

Answer 1

trees[n] 是恰好具有n 节点的树的数量。有 0 个节点的 1 棵树，因此 trees[0] == 1。对于给定的n > 0，有一个根节点和两个子树，其总大小为：n-1

• trees[n-1] 可能的树在左边，trees[0] 在右边
• trees[n-2] 可能的树在左边，trees[1] 在右边
• ...
• trees[1] 可能的树在左边，trees[n-1-1] 在右边
• trees[0] 可能的树在左边，trees[n-1] 在右边

当您在左侧有trees[k] 可能的树，在右侧有trees[l]，它使trees[k]*trees[l] 成为可能的组合。这意味着：

trees[n] = trees[n-1]*trees[0]
         + trees[n-2]*trees[1]
         + ...
         + trees[1]*trees[n-2]
         + trees[0]*trees[n-1]

外循环计算所有trees[n]。内部循环使用上面显示的分解（以及n 之前的所有值的计算）计算其中的每一个。