逻辑表达式的表达式树

Question

我需要改变这个：(a < b)∧(b < c)∨(c < d) 表达式转换为表达式树，但我想不出一种看起来正确的方法。这是我得到的：

Answer 1

我预计这将是一个很长的答案，因为我将通过总体思考过程来实现解决方案。对于住院病人来说，解决方案在最后。

你的解决方案正确吗？

嗯，这取决于。如果∨ 优先于∧，则您的图片将完全正确，在这种情况下，您只需在(b < c) ∨ (c < d) 有结果后应用∧。如果你像这样使用括号强制优先级也是正确的：

(a < b) ∧ ( (b < c) ∨ (c < d) )

也就是说，在谈论operator precedence 时，通常∧/and 优先于∨/or。当优先级相同时，计算从左到右进行，即右侧取决于左侧的结果。

运算符的优先级越高，它在树中出现的越低。

答案的其余部分将假定通常的运算符优先级。

如何解决这个问题？

解决这类问题的最佳方法是分解表达式。更好的是，如果我们使用prefix/polish notation 进行分解，那么以后构建树会更自然。

给定：(a < b) ∧ (b < c) ∨ (c < d)

让我们把它分解成几部分：

x = (a < b), which translates to prefix: < a b
y = (b < c), which translates to prefix: < b c
z = (c < d), which translates to prefix: < c d

我们现在有 3 个不等式表达式，分解为 x、y 和 z。

现在是逻辑运算符。

i = x ∧ y, which translates to prefix: ∧ x y
j = i ∨ z, which translates to prefix: ∨ i z

我们现在有 2 个逻辑表达式分解为 i 和 j。请注意它们如何依赖于x、y、z。而且，j 依赖于i。依赖关系很重要，因为您知道树叶没有依赖关系。

如何构建树？

总结一下，这就是我们从原始表达式中分解出来的：

x = < a b
y = < b c
z = < c d
i = ∧ x y
j = ∨ i z

让我们自下而上地处理它。

考虑到依赖关系，叶子显然是最独立的元素：a、b、c 和d。

让我们构建树的底部，考虑这些独立元素在我们刚刚进行的分解中的所有出现（b 和 c 出现两次，我们放了两次）。

a   b   b   c   c   d

现在让我们构建 x、y 和 z，它们仅依赖于 a、b、c 和 d。我将使用 / 和 \ 来构建我的 ASCII 艺术作品，就像你的图片行一样。

  x       y       z
  <       <       <
 / \     / \     / \
a   b   b   c   c   d

现在我们已经看到，i 仅依赖于 x 和 y。所以我们现在可以把它放在那里。我们现在还不能添加j，因为我们需要先添加i。

      i
      ∧
    /   \
  x       y       z
  <       <       <
 / \     / \     / \
a   b   b   c   c   d

现在我们只是缺少j，这取决于i 和z。

           j
           ∨
         /   \      
        /     \
      i        \
      ∧         \
   /     \       \
  x       y       z
  <       <       <
 / \     / \     / \
a   b   b   c   c   d

我们有一个完整的表达式树。如您所见，每个依赖级别都会产生一个树级别。

为了完全准确，这棵树中的Breadth-First Search 必须考虑z 与i 处于同一级别，因此树的正确表示必须将z 高一级：

            j
            ∨
         /     \      
        /       \
      i          z
      ∧          <
   /     \      / \
  x       y    c   d
  <       <       
 / \     / \     
a   b   b   c

再说明一点，为了完全清楚，对于表达式(a < b) ∧ ( (b < c) ∨ (c < d) )，分解结果将是：

x = < a b
y = < b c
z = < c d
j = ∨ y z
i = ∧ x j

这反过来会导致你图片中的树。

希望这对您未来构建表达式树的努力有所帮助。