如何在加权多数投票游戏中快速找到所有最小获胜联盟？

Question

编辑：感谢论文A survey of algorithms for calculating power indices of weighted majority games，我找到了解决方案

我想解决以下问题：

给定一个集合 N={1,..,n}，权重向量 W={w_1,..,w_n}，按降序排序，总和为 1， 找到 N 的所有子集 C（也称为“联盟”），使得

1. C 是“获胜”，即子集 C 内元素的权重之和超过某个阈值（例如 0.5）
2. C 是“最小的”，这意味着从 C 中删除任何元素都将使子集不再“获胜”。

为了澄清，一个例子可以是：N={1,2,3} W={0.45,0.35,0.2}

1. 这里的“获胜”子集是 {1,2}、{2,3}、{1,3} 和 {1,2,3}，因为它们的总权重都超过 0.5
2. 只有 {1,2}、{2,3} 和 {1,3} 是最小的，因为在 {1,2,3} 中您可以删除一个元素并获取上面的元素。

从上面引用的论文中，我现在实现了这个代码，它递归地生成所有最小获胜联盟的列表

MWC = function(w,threshold=0.5){
  n = length(w)
  l = list()
  enumerate = function(S1,n1,b1){
    if(n1==n){
      return(list(c(S1,n1)))
    }else{
      if(sum(w[(n1+1):n]) >= b1){
        l = c(l,enumerate(S1,n1+1,b1))
      }
      if(w[n1] >= b1){
        l=c(l,list(c(S1,n1)))
      }else{
        l = c(l,enumerate(c(S1,n1),n1+1,b1-w[n1]))
        return(l)
      }
    }
  }
  return(enumerate(c(),1,threshold))
}

w = c(0.46,0.3,0.19,0.05)
MWC(w)

在指数复杂度使一切都不可行之后，代码运行到 n = 20 左右。

Answer 1

您的问题的一个解决方案是使用while loop 并在循环中应用上述约束。

下面是工作代码：

N = 1:10

W <- c(0.60, 0.40, 0.33, 0.30, 0.25, 0.20, 0.15, 0.10, 0.05, 0.03);

Winning_Sets <- c()

i <- 1

while (i != (length(N) - 1)) {
  if (i == 1) {
    Subsets <- combn(N, i)
  } else {
    Keep_Combs <- Subsets[,which(Intermediate_Sets == 'No_Match')]
    Subsets <- combn(N, i)
    if (i == 2) {
      Subsets <- apply(Subsets, 2, function(x) {
        x <- x[x[i - 1] %in% Keep_Combs]
      })
    } else {
      Subsets <- apply(Subsets, 2, function(x) {
        unlist(apply(Keep_Combs, 2, function(y) {
          if (identical(y, x[1:(i - 1)]) == TRUE) {
            x
            }
          }))
        })
    }
    Subsets <- do.call('cbind', Subsets)
  }
  Intermediate_Sets <- apply(Subsets, 2, function(x) {
    if (sum(W[x]) > 0.5) {
      paste('{', paste(x, collapse = ','), '}', sep = '')
    } else {
      'No_Match'
    }
    })
  Winning_Sets <- append(Winning_Sets, unlist(Intermediate_Sets[Intermediate_Sets != 'No_Match']))
  if (length(which(Intermediate_Sets == 'No_Match')) > 0) {
    i <- i + 1
  } else {
    i <- length(N) - 1
  }
}

输出：

Winning_Sets
 [1] "{1}"          "{2,3}"        "{2,4}"        "{2,5}"        "{2,6}"        "{2,7}"       
 [7] "{3,4}"        "{3,5}"        "{3,6}"        "{4,5}"        "{2,8,9}"      "{2,8,10}"    
[13] "{3,7,8}"      "{3,7,9}"      "{3,7,10}"     "{4,6,7}"      "{4,6,8}"      "{4,6,9}"     
[19] "{4,6,10}"     "{4,7,8}"      "{5,6,7}"      "{5,6,8}"      "{3,8,9,10}"   "{4,7,9,10}"  
[25] "{5,6,9,10}"   "{5,7,8,9}"    "{5,7,8,10}"   "{6,7,8,9,10}"