假设我有两组点
p1, p2, p3,... ,pn
和
q1, q2, q3,..., qn
描述平面中的两条路径（曲线）。这些点可能不是从曲线中均匀采样的，但它们是“有序的”（关于曲线的参数化）。找出这两条曲线相交位置的好方法是什么？
例如，我可能每个只有两点
(0,0) (1,0)
和
(-5,1) (-4,-1)
在这种情况下，它们的交点是 (-4.5,0)。
最简单的方法是在每两个点之间绘制边缘，扩展它们，然后查看是否有任何两对边缘在合适的土地上相交。我很好奇是否有更好的方法。
【问题讨论】：
标签： algorithm graphics 3d geometry computational-geometry
找到这种交点最有效的方法是通过扫描线算法，它可以达到 O(n log n + k) 运行时间（n 线段有 k 个交点），通过详尽比较优于 O(n²) .见http://www.ti.inf.ethz.ch/ew/lehre/CG09/materials/v9.pdf。不幸的是，这样的解决方案相当复杂。
一种可能的替代方案，实现起来更简单，是使用分层边界：获取每个段的边界框，将框两两合并（连续段），然后四乘四，依此类推。从 N 个段开始，您将形成 N-1 个边界框的层次结构。
然后，要使两条曲线相交，检查它们的顶级边界框的干扰。如果确实重叠，则递归检查子框的干扰，依此类推。
除非你的曲线紧密交织，否则你可以省去大量的段比较。
【讨论】：
您可以对每条折线（线段链）进行预处理，并为每条线找到一个最小边界矩形。您还可以为每条折线构建一个分层数据结构 - 一个矩形用于整个折线，然后一个矩形用于每一半，依此类推。您可以使用其他几何形式来代替矩形 - 例如圆形或椭圆形。
那么你可以使用Clipping and Culling来加速路口搜索。
【讨论】：
您可以围绕一组点计算边界框，例如每 100 对点，并且仅以 n x n 方式与这些点相交。边界框相交可以非常有效地完成。如果两个边界框（每条曲线中的一个）相交，您可以仅测试这些框内涉及的边缘是否相交。
这将处理曲线之间有多个交点的情况。请注意边界情况，当交点实际上是定义边的顶点之一时。
【讨论】：