如何在matlab中生成这个矩阵

Question

H 矩阵是 n×n，n=10000。我可以使用循环在 matlab 中生成这个矩阵。我只是想知道是否有任何方法可以做到这一点而无需在 matlab 中循环。

Answer 1

可以看到矩阵的右上部分由1 / sqrt(n*(n-1))组成，对角线元素由-(n-1)/sqrt(n*(n-1))组成，第一列由1/sqrt(n)组成，其余元素为零。

我们可以生成完整的矩阵，其中第一列包含所有1 / sqrt(n)，然后其余列包含1 / sqrt(n*(n-1))，然后我们需要修改矩阵以包含您想要的其余部分。

因此，让我们专注于从第 2 行第 2 列开始的元素，因为它们遵循一定的模式。完成后，我们可以构建构建最终矩阵的其他内容。

x = 2:n;
Hsmall = repmat([1./sqrt(x.*(x-1))], n-1, 1);

接下来，我们将处理对角线元素：

Hsmall(logical(eye(n-1))) = -(x-1)./sqrt(x.*(x-1));

现在，让我们将其余元素归零：

Hsmall(tril(logical(ones(n-1)),-1)) = 0;

现在我们已经完成了，让我们创建一个将所有这些组合在一起的新矩阵：

H = [1/sqrt(n) 1./sqrt(x.*(x-1)); repmat(1/sqrt(n), n-1, 1) Hsmall];

因此，完整代码为：

x = 2:n;
Hsmall = repmat([1./sqrt(x.*(x-1))], n-1, 1);
Hsmall(logical(eye(n-1))) = -(x-1)./sqrt(x.*(x-1));
Hsmall(tril(logical(ones(n-1)),-1)) = 0;
H = [1/sqrt(n) 1./sqrt(x.*(x-1)); repmat(1/sqrt(n), n-1, 1) Hsmall];

这是n = 6 的示例：

>> H

H =

  Columns 1 through 3

         0.408248290463863         0.707106781186547         0.408248290463863
         0.408248290463863        -0.707106781186547         0.408248290463863
         0.408248290463863                         0        -0.816496580927726
         0.408248290463863                         0                         0
         0.408248290463863                         0                         0
         0.408248290463863                         0                         0

  Columns 4 through 6

         0.288675134594813         0.223606797749979         0.182574185835055
         0.288675134594813         0.223606797749979         0.182574185835055
         0.288675134594813         0.223606797749979         0.182574185835055
        -0.866025403784439         0.223606797749979         0.182574185835055
                         0        -0.894427190999916         0.182574185835055
                         0                         0        -0.912870929175277

Answer 2

由于您正在使用相当大的n 值10000，您可能希望尽可能多地挤出性能。 随之而来的是，您可以使用基于cumsum 的有效方法-

%// Values to be set in each column for the upper triangular region
upper_tri = 1./sqrt([1:n].*(0:n-1));

%// Diagonal indices
diag_idx = [1:n+1:n*n];

%// Setup output array
out = zeros(n,n);

%// Set the first row of output array with upper triangular values
out(1,:) = upper_tri;

%// Set the diagonal elements with the negative triangular values.
%// The intention here is to  perform CUMSUM across each column later on,
%// thus therewould be zeros beyond the diagonal positions for each column
out(diag_idx) = -upper_tri;

%// Set the first element of output array with n^(-1/2)
out(1) = -1/sqrt(n);

%// Finally, perform CUMSUM as suggested earlier
out = cumsum(out,1);

%// Set the diagonal elements with the actually expected values
out(diag_idx(2:end)) = upper_tri(2:end).*[-1:-1:-(n-1)];

---

运行时测试

(I) 使用n = 10000，我的运行时是-Elapsed time is 0.457543 seconds。

(II) 现在，作为最终的性能压缩实践，您可以使用MATLAB Undodumented Blog 中列出的更快的预分配方案编辑out 的预分配步骤。因此，预分配步骤看起来像这样 -

out(n,n) = 0;

此编辑代码的运行时是 - Elapsed time is 0.400399 seconds。

(III) n = 10000 与 other answer by @rayryeng 的运行时产生了 - Elapsed time is 1.306339 seconds.