Maclaurin 级数的函数逼近

Question

我需要大约 (1-x)^0.25 并具有给定的精度（例如 0.0001）。我将expansion found on Wikipedia 用于 (1+x)^0.25。当当前表达式小于准确度时，我需要停止近似。

long double s(long double x, long double d) {
    long double w = 1;
    long double n = 1; // nth expression in series
    long double tmp = 1;

    // sum while last expression is greater than accuracy
    while (fabsl(tmp) >= d) {
        tmp *= (1.25 / n - 1) * (-x); // the next expression
        w += tmp; // is added to approximation
        n++; 
    } 

    return w;
}

不要介意long double n。 :P 当我不检查当前表达式的值但计算 1000 个或更多表达式时，这很有效。该函数的域是 并且 s() 可以很好地计算 中 x 的近似值。参数越大，计算的误差越大。从 0.6 开始，它超过了准确度。

我不确定问题是否足够清楚，因为我不太了解英语数学语言。问题是 while 条件有什么问题，以及为什么函数 s() 不能正确近似。

编辑： 问题基本解决了。当 x>0 时，我必须从 1 中减去连续表达式的绝对值。

if (x<0)
   w += tmp;
else
   w -= fabsl(tmp);

在那之后准确度提高了很多（当然是狐狸 x>0）。冗余误差源于长期的双重误差。就这样。还是谢谢你们。

Answer 1

尝试绘制函数图

abs((1.0+x)alpha - binomial_formula(alpha,x,tolerance))

即使在近距离 x 范围内，例如 [-0.5;0.5] 你也会得到类似：

这意味着您的二项式展开实现是不稳定的。随着 x 离零越来越远 - 系列必须包含越来越多的给定精度的项。但是在当前的扩展实现中这样做会导致Catastrophic cancellation 发生（一些浮点错误累积机制）。尝试阅读我给出的关于如何设计数值稳定算法的链接。

顺便说一句，感谢您提出真正有趣的问题！

Answer 2

您的问题是，虽然您的算法的迭代部分很好，但终止不是您认为的那样。

当计算无限和时，您使用的泰勒级数展开是精确的。但是，您无法评估该无限和并且正在截断。

我想您假设当tmp 变得小于您所需的容差时，w 中的错误也小于该容差。

然而，事实并非如此。每次迭代的误差是剩余项的无限和。它是您要丢弃的无数项的总和。其中第一个，即终止点 tmp 的值，可能小于您的容忍度，但它们的总和可能大于您的容忍度。

当 (-x) 为负时，您碰巧侥幸逃脱，因为 tmp 的交替符号对您有利。当 (-x) 为正时，当x 接近于零时，你就可以逃脱。

但是，我不相信有一种简单的方法可以提出一个简单的通用停止标准。您必须能够对要丢弃的条款进行一些限制。这现在变成了一个数学问题，而不是一个编程问题。