给定一个点，找到与已知直线相交的直线

Question

这是基本的图形几何和/或三角函数，我觉得问它很愚蠢，但我不记得这是怎么回事。所以：

1. 我有一条由两个点 (x1, y1) 和 (x2, y2) 定义的线。
2. 我有第三个点 (xp, yp)，它位于其他地方。

我想计算位于#1 中某处的点 (x', y')，这样，当与 #2 中的点连接时，会创建一条与第一条线垂直的新线。

谢谢。

Answer 1

在这种计算几何中，一个有用的经验法则是，您应该尽可能长时间地使用向量，仅在万不得已时才切换到笛卡尔坐标。所以让我们用向量代数来解决这个问题。假设你的线从 p 到 p + r，另一点是 q。

现在，线上的任何点，包括您要查找的点（称为 s），都可以表示为 s = p + λ r 表示标量参数 λ。

现在从 q 到 s 的向量必须垂直于 r。因此

(q - (p + λ r)) · r = 0

其中·是dot product operator。展开产品：

(q - p) · r = λ (r · r)

然后划分：

λ = (q - p) · r / r · r

来实现的时候需要检查r·r是否=0，避免被零除。

Answer 2

您可以通过首先考虑从(x1, y1) 到(x2, y2) 的直线上的通用点(x, y) 来找到该点：

x = x1 + t*(x2 - x1)
y = y1 + t*(y2 - y1)

以及计算从该点到(xp, yp)的（平方）距离

E = (x - xp)**2 + (y - yp)**2

替换x 和y 的定义给出

E = (x1 + t*(x2 - x1) - xp)**2 +
    (y1 + t*(y2 - y1) - yp)**2

然后找到这个距离变化的最小值t 我们推导出E 相对于t

dE/dt = 2*(x1 + t*(x2 - x1) - xp)*(x2 - x1) +
        2*(y1 + t*(y2 - y1) - yp)*(y2 - y1)

经过一些计算后给出

dE/dt = 2*((x1 - xp)*(x2 - x1) + (y1 - yp)*(y2 - y1) +
           t*((x2 - x1)**2 + (y1 - y2)**2))

寻找这个导数何时为零，我们得到t 的显式方程

t = ((xp - x1)*(x2 - x1) + (yp - y1)*(y2 - y1)) /
    ((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2)

因此可以使用(x, y) 定义中t 的值来计算最终点。

使用矢量符号，这与 Gareth 建议的公式完全相同...

t = <p - p1, p2 - p1> / <p2 - p1, p2 - p1>

其中符号<a, b> 表示点积运算ax*bx + ay*by。

还要注意，同样的公式也适用于 n 维空间。

Answer 3

致所有寻找使用向量的具体示例的可怜人......在这里，我建立在 Gareth 的答案之上。

你有一个从 p 到 r（从 0,0 到 50,-50）的向量和另一个点 q，它位于 (50, 0) 处。 q 与 p 到 r 的向量的直角交点为 { x: 25. y: -25 } ，用下面的代码推导出来。

const p = [0, 0];
const r = [50, -50];
const q = [50, 0];
const l = math.add(p, r);
const m = math.dot(math.subtract(q, p), r) / math.dot(r, r);

console.log('intersecting point',  math.multiply(l, m));

<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjs/5.1.2/math.js"></script>

Answer 4

答案是：

y=ax+b
where a=(x1-x2)/(y2-y1)
      b=yp-(x1-x2)*xp/(y2-y1)

结果是如何获得的：

1) slope for the original line:   (y2-y1)/(x2-x1)

2) slope for the answer: -1/((y2-y1)/(x2-x1)) = (x1-x2)/(y2-y1)

3) Plug this into (xp,yp) we can have the result line.

从后面的行中计算答案（这太长了……我饿了）。

Answer 5

基于this article

let x1, x2, y1, y2, slope, xp, yp, m, x, y
x1 = 0
y1 = 0 
x2 = 50
y2 = -50
xp = 50
yp = 0

slope = (y1 - y2) / (x1 - x2)
m = -1 / slope
x = (m * xp - yp - slope * x1 + y1) / (m - slope)
y = m * x - m * xp + yp

console.log('x: ', x, ', y: ', y )

Answer 6

您可以求解连接(x1, y1) 和(x2, y2) 的直线的斜率。然后你就知道垂直线的斜率是它的负数。

要找到 y 截距，请使用斜率查看直线在 y 中从 x=0 到 x1 的距离。

b + (x1 - x0) * m = y1
b + (x1 -  0) * m = y1
b + (x1 * m)      = y1
b = y1 - x1 * m

然后，您可以获得两点之间的线和来自(xp, yp) 的线与上述斜率的公式。对于给定的 x，它们具有相等的 y，因此您可以求解 x，然后将其代入 y 的任一公式。

m = slope_from_1_to_2  = (y2 - y1) / (x2 - x1)
n = slopePerpendicular = (-1) / m

b = intercept_for_1_to_2 = y1 - x1 * m
c = intercept_for_p      = yp - xp * n

因此，线的方程具有以下形式 y = mx + b

第 1 点和第 2 点：

y(x) = mx + b

点p：

y(x) = nx + c

设置他们的y'等于找到x'

mx' + b = nx' + c
(m-n)x' = c - b
     x' = (c - b) / (m - n)

因此使用任一公式来计算 y'

y' = mx' + b