如何找到由从n个点中选择的三个点确定的最小和最大角度？答案

【问题标题】：How to find minimal and maximal angle determined by three points selected from n points?如何找到由从n个点中选择的三个点确定的最小和最大角度？
【发布时间】：2017-04-06 22:34:39
【问题描述】：

给定 n 个二维平面上的点，例如 (0,0),(1,1), ... 我们可以从中选择任意三个点来构造角度。比如我们选择A(0, 0), B(1, 1), C(1, 0)，那么我们得到角度 ABC = 45 度，ACB = 90 度，CAB = 45 度。

我的问题是如何计算由从 n 个点中选择的三个点确定的最大或最小角度。

显然，我们可以使用蛮力算法 - 计算所有角度并找到最大值和最小值，使用余弦定律计算角度，使用勾股定理计算距离。但是高效算法存在吗？

【问题讨论】：

标签： algorithm math geometry mathematical-optimization

【解决方案1】：

如果我是正确的，蛮力在 O(n^3) 中运行：你基本上取每个三元组，计算 3 个角度，并存储整体最大值。

你可以稍微提高到 O(n^2 * log(n)) 但它更棘手：

best_angle = 0
for each point p1:
    for each point p2:
        compute vector (p1, p2), and the signed angle it makes with the X-axis
        store it in  an array A
    sort array A    # O(n * log(n))
    # Traverse A to find the best choice:
    for each alpha in A:
         look for the element beta in A closest to alpha+Pi 
         # Takes O(log n) because it's sorted. Don't forget to take into account the fact that A represents a circle: both ends touch...
        best_angle = max(best_angle, abs(beta - alpha))

复杂度是O(n * (n + nlog(n) + n * log(n))) = O(n^2 * log(n))

当然你也可以检索在循环过程中获得最佳角度的pt1、pt2。

可能还有更好的方法，这感觉总体上做的工作太多了，即使您将以前的 pt1 计算重新用于 pt2、...、ptn ...

【讨论】：

哇，很好的解决方案！挺棘手的。反正pt指点？
“在 A 中寻找最接近 alpha+Pi 的元素 beta”应该在摊销常数时间内是可行的（但这并不重要，因为复杂性是由排序决定的）。
是的 pt 表示点，对不起。 Marc 是对的，您可以改进对最佳 beta 的搜索，方法是像往常一样查找第一个，然后使用前一个查找下一个，但您不会获得太多，因为它仍然在 O(n^ 2 log(n))