从点找到最远的点

Question

我正在尝试找到从 2D 空间中的指定点获取圆的最远点的最佳方法。到目前为止我发现的是如何获得点与圆位置之间的距离，但我不完全确定如何扩展它以找到圆的最远点。

已知变量有：

• 点一个
• 点 b（圆位置）
• 半径 r（圆半径）

要找到点和圆位置之间的距离，我找到了这个：

xd = x2 - x1

yd = y2 - y1

距离 = 平方根（xd * xd + yd * yd）

在我看来，这是解决方案的一部分。这将如何扩展以获得下图中点 x 的位置？

作为问题的附加但可选的部分：我在某些地方读到，可以在不使用平方根的情况下获得距离部分，这是非常性能密集型的，如果需要快速代码，应该避免使用。就我而言，我会经常进行这种计算；在主要问题的背景下，任何关于此的 cmets 也将受到欢迎。

Answer 1

这个怎么样？

1. 计算 A-B。
   我们现在有一个从圆心指向 A 的向量（如果 B 是原点，请跳过此步骤，将点 A 视为向量）。
2. 标准化。 现在我们有了一个定义好的长度（长度为1）
3. 如果圆不是单位半径，则乘以半径。如果是单位半径，则跳过此。 现在我们有了正确的长度。
4. 反转符号（可以用 3. 一步完成，只需乘以负半径）
   现在我们的向量指向了正确的方向。
5. 添加 B（如果 B 是原点，请跳过此步骤）。
   现在我们的向量被正确偏移了，所以它的端点就是我们想要的点。

（或者，你可以计算 B-A 来保存否定，但你必须再做一次操作才能正确偏移原点。）

顺便说一下，它在 3D 中的工作方式相同，除了圆是球体，向量将有 3 个分量（或 4 个分量，如果您使用同质坐标，在这种情况下请记住 - 为了正确起见 - 设置w 在“将点转化为向量”时为 0，当从向量中生成一个点时为 1）。

编辑：
（回复伪代码）
假设您有一个 vec2 类，它是一个由两个浮点数组成的结构，带有用于向量减法和标量乘法的运算符（非常简单，大约十几行代码）和一个函数 normalize，它只需要是乘法的简写使用inv_sqrt(x*x+y*y)，伪代码（我这里的伪代码类似于 C++/GLSL 混合）可能看起来像这样：

vec2 most_distant_on_circle(vec2 const& B, float r, vec2 const& A)
{
    vec2 P(A - B);
    normalize(P);
    return -r * P + B;
}

您使用的大多数数学库都应该内置所有这些函数和类型。 HLSL 和 GLSL 将它们作为第一类原语和内在函数。有些 GPU 甚至有专门的规范化指令。