计算拦截向量

Question

我有 2 个对象（我将它们称为 target 和 interceptor）。 我知道目标的当前位置和速度。 我知道拦截器的当前位置和它可以行驶的速度。

由此，我现在需要知道的是：

• 是否可以拦截，即同一时间点的同一地点。
• 拦截器需要在哪个向量上行驶
• 拦截需要多长时间

即目标 @ (120,40) 每秒 V(5,2) 和拦截器 @ (80,80) 可以每秒 10 的速度行进。

我环顾四周，找到了很多方法来找出它们相遇的点，它们都围绕两个向量之间的角度旋转，因为我不知道第二个向量，我无法计算它，我我迷路了，试图解决这个问题。

对于如何进行的任何建议或指导表示赞赏。

Answer 1

您可以使用 2D 矢量计算来计算交集。目标沿着一条线移动。我们知道目标的起点、方向和速度。

在任何时间 t >= 0，目标位于由定义的 x 点

其中 s_t 是目标 (120, 40) 的起点，v_t 是目标 (5, 2) 的速度向量。

我们知道拦截器的起点 (s_i)，它的速度 (v_i)，但不知道它的方向。我们可以用围绕起点的圆来描述拦截器的范围，其半径随着时间的推移而增加。在向量微积分中我们得到

其中x是圆上的一个点，s_i是拦截器的起点（80, 80），r是拦截器在时间t的半径（或范围），v_i是拦截器的速度（ 10).

当目标和拦截器在时间 t 相遇时，它们的位置 x 必须相等。我们在圆方程的x中使用直线方程的x，得到

这只是一个普通的quadratic equation t：

您可以轻松解决此问题。在这种情况下，您会得到一个有效和无效的解决方案：

t1 = -5.2328 => 无效，因为 t 必须 >= 0

t2 = 8.61307

现在您知道了 t，您可以计算与第一行方程的交点。目标和拦截器在 (163.065, 57.223) 相遇

Answer 2

给定：

在时间0，目标在A点，拦截器在B点。在未来的某个时间点，它们将在C点相交。

线段a与A点相对，b与B、c与C亦然。

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我们知道 A 和 B 的位置。我们可以从目标的航向推导出角度 CAB。我们知道线段a和b的长度之比等于(interceptor.speed/target.speed)。

首先，找到角度CAB。
让向量 B^ 等于目标的速度。
让向量 C^ 等于 (interceptor.position.x - target.position.x, interceptor.position.y - target.position.y)。
使用点积公式确定它们之间的角度。

B dot C = ||B|| * ||C|| * cos(angle)
cos(angle) = (B dot C) / (||B|| * ||C||)
angle = arccos((B dot C) / (||B|| * ||C||))

...其中“点”是dot product，而||B||是向量 B 的标量大小。angle 是角度 CAB。

现在我们将找到角 ABC。
使用law of sines，我们知道sin(ABC) / b == sin(CAB) / a。 将等式重新排列为ABC = arcsin( sin(CAB) * (b/a) )。
我们在上一步找到了 CAB，我们知道 b/a 是 target.speed/interceptor.speed，所以将这些值代入并找到 ABC。

现在您知道了两个角和两个点，您应该能够推导出 C 的位置。如果使用度数，角 ACB 等于 180 - (CAB + ABC)，或者 Pi - (CAB + ABC ) 如果您使用的是弧度。使用正弦定律确定边 b 和 c 的长度。现在您可以使用T = b / target.speed 找到T，使用C = target.position + (target.velocity * T) 找到C。

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我的 C# 有点生疏，所以 here 是一个示例 Python 实现。让我们插入您的示例值，结果是：

Collision pos: Point(163.065368246, 57.2261472985)
Time: 8.61307364926
Angle A: 113.198590514
Angle B: 29.6680851288
Angle C: 37.1333243575
a: 86.1307364926
b: 46.3828210973
c: 56.5685424949

位置和时间与 gdir 找到的相同，因此我非常有信心我们的方法都有效。

编辑：MikeT：C# 版本

public static double Dot(Vector a, Vector b)
{
    return a.X * b.X + a.Y * b.Y;
}
public static double Magnitude(Vector vec)
{
    return Math.Sqrt(vec.X * vec.X + vec.Y * vec.Y);
}
public static double AngleBetween(Vector b, Vector c)
{
    return Math.Acos(Dot(b, c) / (Magnitude(b) * Magnitude(c)));
}

public static  Vector? Find_collision_point(Point target_pos, Vector target_vel, Point interceptor_pos, double interceptor_speed)
{
    var k = Magnitude(target_vel) / interceptor_speed;
    var distance_to_target = Magnitude(interceptor_pos - target_pos);

    var b_hat = target_vel;
    var c_hat = interceptor_pos - target_pos;

    var CAB = AngleBetween(b_hat, c_hat);
    var ABC = Math.Asin(Math.Sin(CAB) * k);
    var ACB = (Math.PI) - (CAB + ABC);

    var j = distance_to_target / Math.Sin(ACB);
    var a = j * Math.Sin(CAB);
    var b = j * Math.Sin(ABC);


    var time_to_collision = b / Magnitude(target_vel);
    var collision_pos = target_pos + (target_vel * time_to_collision);

    return interceptor_pos - collision_pos;
}