如何优化 SymPy 积分的数值评估？

Question

我是 SymPy 的新手，希望有人能指出优化我的代码的方法。

我需要对一个包含非常高小数位 (150–300) 的表达式进行数值计算，并且每个参数集需要 30 秒或更长时间——考虑到要计算的参数空间，这非常长。

我在积分处理中使用了lambdify 和mpmath 后端和meijerg=True，它显着降低了运行时间。还有其他可以使用的方法吗？理想情况下，将评估时间推到 1 秒以下会很棒。我的代码是：

import mpmath
from mpmath import mpf, mp
mp.dps = 150 # ideally would like to have this set to 300 
import numpy as np
from sympy import besselj, symbols, hankel2, legendre, sin, cos, tan, summation, I
from sympy import  lambdify, expand, Integral
import time
x, alpha, k, m,n, r1, R, theta = symbols('x alpha k m n r1 R theta')

r1 = (R*cos(alpha))/cos(theta) #

Imn_part1 = (n*hankel2(n-1,k*r1)-(n+1)*hankel2(n+1,k*r1))*legendre(n, cos(theta))*cos(theta)
Imn_part2 = n*(n+1)*hankel2(n, k*r1)*(legendre(n-1, cos(theta)-legendre(n+1, cos(theta))))/k*r1
Imn_parts = expand(Imn_part1+Imn_part2)
Imn_expr = expand(Imn_parts*legendre(m,cos(theta))*(r1**2/R**2)*tan(theta))
Imn = Integral(Imn_expr, (theta, 0, alpha)).doit(meijerg=True)

# the lambdified expression
Imn_lambdify = lambdify([m,n,k,R,alpha], Imn,'mpmath')

向函数提供数字输入时 – 需要很长时间（30 秒 - 40 秒）。

substitute_dict = {'alpha':mpf(np.radians(10)), 'k':5,'R':mpf(0.1), 'm':20,'n':10}

print('starting calculation...')
start = time.time()
output = Imn_lambdify(substitute_dict['m'],
             substitute_dict['n'],
             substitute_dict['k'],
             substitute_dict['R'],
            substitute_dict['alpha'])
print(time.time()-start)

使用的操作系统/软件包版本：

• Linux Mint 19.2
• Python 3.8.5
• SymPy 1.7.1
• MPMath 1.2.1

Answer 1

设置meijerg=True 刚刚导致 SymPy 在评估积分时不那么努力。它仍然无法评估它，但它已将其拆分为 5 个子积分，如果您打印 Imn 可以看到。你不妨把它作为一个整体（离开doit()）：

Imn = Integral(Imn_expr, (theta, 0, alpha))

对我来说，分裂积分的计算速度要快一些，但这也差不多

Imn = Integral(simplify(Imn_expr), (theta, 0, alpha))

归根结底，让事情变慢的是您使用的位数。如果您实际上不需要这么多数字，则不应使用它们。请注意，mpmath 会在内部自动增加精度以避免取消，因此您不必自己这样做。我得到相同的值（数字更少），默认 dps 为 15 和 150。

您可以尝试将您的值直接替换到您的表达式中，如果它们没有改变，并查看 SymPy 是否可以使用它们进一步简化 Imn_expr。

顺便说一句，您正在使用np.radians(10)，这是一个机器浮动，因为这是 NumPy 使用的。这完全违背了计算 150 位数字的最终答案的目的，因为此输入参数仅精确到 15。请考虑使用 mpmath.pi/18 来获取与您指定的位数正确的值。