我的第一道状态空间DP题的详细解题报告

POJ 2817 WordStack 解题报告

题目链接：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2817

题目主要用到的算法：状态空间dp

题目描述：
 这个题的意思是第一行给出case数N (1 <= N <= 10)，然后给出N个单词，每个一行，当输入不是正整数的时候结束。每个单词最多10个字母。
Sample Input
5
abc
bcd
cde
aaa
bfcde
0
要求的是，按任意顺序排列这些单词，可以在单词前面加任意个空格，使得相邻的单词上下对应的字母数目最多，并输出最多是多少。
Sample Output
8
比如sample里面的8，是这样得来的：
aaa
abc
 bcd
  cde
bfcde
注意只有相邻单词的字母上下对应才算对应。

我AC的代码：

}

思路：分析这个题目，我们应该很容易就看出，结果只与单词的排列顺序有关，至于在每个单词前面加几个空格对结果是不影响的。所以我们可以首先统计这n个单词两两之间最多能有多少个对应的字母，放到数组mm[11][11]中(因为题目说n最大是10)。数组名取得不太好哈:-P.比如sample里面的五个单词计算出的mm数组应该是这样的
0 0 0 0 0 0
0 0 2 1 1 1
0 2 0 2 0 2
0 1 2 0 0 3
0 1 0 0 0 0
0 1 2 3 0 0
mm[i][j] 是 word[i]和word[j]前面加任意个空格能对应的最多字母数。我的代码里是用一个Cal函数实现的这个功能。其中mm数组是全局变量。

 1void Cal( int a, int b ) //word[a]和word[b]有多少公共字母，存在mm[a][b]里,test OK
 2}

 

对这个题目，不知大家是不是想到了全排列的方法呢？就是把这n个单词全部的可能放置的顺序都排列出来，把上下相邻的公共字母数相加，哪种排列得到的结果最大，就是最终结果。
首先肯定这个做法是绝对正确的，而且也可以用这个做法AC这个题目（见附代码）。但是，这个做法效率比较低，用了600ms多才跑完数据。而且这种做法没有学到我们要学习的内容，状态空间dp。

接下来给出的是最关键的部分，状态空间dp部分的代码，只有短短的14行，用心理解便不困难

}

我先来解释思路再解释这段代码。
其中主函数对Fun函数的调用部分代码如下：

1           int max = 0;
2           int power = (int)pow( 2, n );
3 
4           for ( int i = 1; i <= n; ++i ) 
5           {
6               int tt = Fun( power-1, i );//Fun函数用来求dp[][]的值，也就是全部单词都放满，最后一行是i的情况下总的最大公共字母数 
7               max >?= tt;
8           }
9           printf( "%d\n", max );

 

int Fun( int state, int last )函数的作用如注释所说，Fun函数的第一个参数state表示单词填入的状态，在这里，power-1表示的是所有的单词都已经放到排列里面的状态（我在后面会解释为什么）。第二个参数last表示最后添入的单词是哪个。这段代码的意思是：全部单词都填入，且最后填入的单词是word[i]的时候，总的最多的公共字母数是多少，当i取遍1～n的时候，就包括了全部的情况。取最大，就是我们要的结果。比如sample中，power-1 = 31（31的二进制码是11111）假设i=3，Fun(31,3)就表示下面的情况
word[x]
word[y]
word[z]
word[a]
word[3]
也就是说，x y z a是1 2 4 5的任意排列，或者说全部排列，然后最后一行必须是word[i],也就是word[3],取总公共字母数最多的值作为Fun函数的返回值。

现在我们回头看Fun函数是如何实现的。

 1 
 2 int Fun( int state, int last ) //第一个参数state表示状态，也就是各个单词的取用情况，是用二进制的位运算解决的。因为每个单词只有两种状态，被用了和没被用，那我们就用1表示取了这个单词，0表示没取。每一位表示一个单词的取用情况,第i位表示第i-1个单词是否被取。比如10011表示word[5]word[2]word[1]被取，而word[4]word[3]未被取。
 3 {
 4     int max = 0;
 5     int state_t = (state & (~(1<<(last-1))); //state_t是state去掉last的状态。
 6     if ( state_t == 0 ) return 0; //如果state去掉last以后是0，也就是说，前面一个单词都没取，那last就是第一个单词，没有和它相邻的单词，返回0
 7     if ( dp[state][last] ) return dp[state][last]; //记忆化搜索
 8     
 9     for ( int i = 0 ; i < n; ++i ) //让n个单词都和last相邻一次，取最大值
10     {
11         if ( state_t&(~(1<<i)) != state_t ) max >?= Fun( state_t, i+1 )+mm[i+1][last];//如果state_t的i这位是1，也就是说，state_t包括word[i+1],那么递归调用Fun函数得到state_t包括的所有单词都作为末一行的最大公共字母数，此时word[i+1]作为word[last]的相邻行，所以再加上mm[i+1][last]，取最大值存起来就可以了
12     }
13     
14     dp[state][last] = max;
15     return max;
16 }

我觉得状态dp首先是个搜索，然后加上dp提高效率。顾名思义这个dp保存的是这种状态的最优结果。这是我的第一道状态dp题，这类题也仅仅做过两道而已，有什么不对和可以优化的地方请大侠们批评指正。

附：全排列的慢速代码

 1//枚举水过去的代码 
 2#include <iostream>
 3#include <vector>
 4#include <algorithm>
 5using std::vector;
 6using std::string;
 7
 8}