已知: $\triangle{ABC}$ 是正三角形, $AD = BE = CF$.
求证: $\triangle{DEF}$ 为正三角形.
分析:
作 $\triangle{ABC}$ 之外接圆 $\odot{O}$, 并延长 $AD, BE, CF$ 与对边及外接圆分别交于两点。
若结论成立, 则等价于 $\triangle{HCF}, \triangle{JAD}, \triangle{LBE}, \triangle{BHD}, \triangle{CJE}, \triangle{ALF}$ 均为正三角形.
证明:
对四边形 $ABHC$, 由Ptolemy定理可知,
$AH \cdot BC = AB\cdot CH + BH \cdot AC \Rightarrow AH = BH + CH$.
同理, $BJ = AJ + CJ,\ CL = AL + BL$.
在 $\triangle{HCF}$ 中, $\angle{FHC} = \angle{ABC} = 60^{\circ}$. 下面讨论 $CH$ 与 $CF$ 之大小关系.
若 $CH < CF\Rightarrow CH < AD\Rightarrow BH > DH$.
另一方面, 由 $\angle{CFH} < \angle{CHF} = 60^{\circ} < \angle{HCF}\Rightarrow CH < CF < HF$.
可得: $\angle{LFA} < \angle{ALF} < \angle{FAL} \Rightarrow AL < AF < LF \Rightarrow BL > CF = BE \Rightarrow$
$CJ > CE > JE \Rightarrow AJ < BE= AD\Rightarrow BH < BD < DH$.
与 $BH > DH$ 矛盾!
同理可知 $CH > CF$ 时亦不成立.
故 $\triangle{HCF}$ 是正三角形.
同理, $\triangle{JAD}, \triangle{LBE}$ 均为正三角形. 因此 $\triangle{DEF}$ 是正三角形.
Q$\cdot$E$\cdot$D
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