分类问题
以下均以二分类问题为例，即\(Y=\{1, -1\}\) , \(y = \mathop{sign}(f(x_i; \theta))\)
0-1损失
\[L_{0-1}(f, y) = I(fy \leq 0)
\]
非凸、非光滑，难以优化
Hinge损失函数
0-1损失的一个代理函数，是0-1损失相对紧的上界，称为合页损失函数
\[L_{hinge}(f, y) = \max\{0, 1-fy\}
\]
在\(fy=1\)处不可导，因此不能用梯度下降优化，而是用次梯度下降
Logistic损失函数
0-1损失的代理函数，凸上界
\[L_{logistic}(f, y) = \log_2 (1 + \exp (-fy))
\]
处处光滑，可用梯度下降。但对所有样本点都有惩罚，因此对异常值更敏感
交叉熵损失函数
0-1损失函数的代理函数，光滑凸上界
\[L_{cross \ entropy} (f, y) = -\log2(\frac{1+fy}{2})\quad f \in [-1, 1]
\]
回归问题
对于回归问题，有\(y = f(x_i;\theta)\)
平方损失函数
\[L_{square}(f, y) = (f - y)^2
\]
光滑函数，能用梯度下降，但对异常点敏感
绝对损失函数
\[L_{absolute}(f, y) = |f - y|
\]
相当于做中值回归，比平方损失函数鲁棒，但在\(f=y\)处无法求导数
Huber损失函数
综合考虑可导性和鲁棒性
\[L_{huber}(f, y) = \begin{aligned} \begin{cases} (f-y)^2 & |f-y| \leq \delta \\ 2\delta|f-y|-\delta^2 & |f-y|> \delta \end{cases} \end{aligned}
\]
在\(|f-y|\)较小时为平方损失，在\(|f-y|\)较大时为线性损失，处处可导，且对异常点鲁棒