前言
实际应用问题是学生比较害怕的问题类型之一，更不用说实际应用问题中的最值了，主要是体会其中的函数建模过程。
典例剖析
分析：注意理解题目的意思，“每年最大规模的种植量是\(8\)万斤”，意思是说定义域为\(0<x<8\)，“若种植\(2\)万斤，利润是\(2.5\)万元”，意思是为了让我们求出\(a\)值，
由题可知，利润函数\(y=f(x)-1-\cfrac{1}{2}x=-\cfrac{1}{8}x^3+\cfrac{9}{16}ax^2-1\)，其中\(0<x<8\)，
当\(x=2\)时，\(y=-1+\cfrac{9}{4}a-1=2.5\)，解得\(a=2\)，
综上所述，利润\(y=-\cfrac{1}{8}x^3+\cfrac{9}{8}x^2-1\)，\(0<x<8\)，
\(y'=-\cfrac{3}{8}x^2+\cfrac{9}{4}x=-\cfrac{3}{8}(x^2-6x)=-\cfrac{3}{8}x(x-6)\)，
则当\(x\in (0，6)\)时，\(y'>0\)，函数单调递增，当\(x\in (6，8)\)时，\(y'<0\)，函数单调递减，
故当\(x=6\)时，利润最大，故选\(B\)。
分析：本题目的实质是求解分段函数的最大值，但是还有几个难点：其一单位的统一，其二根据常识列出年利润的分段函数，其三在每一段上求最大值，最后比较得到函数在整个定义域上的最大值。其中“利润=销售量\(\times\)价格-生产成本-固定成本”
解析：由题目得到生产成本为\(G(x)=\begin{cases} \cfrac{1}{3}x^2+10x &x<80 \\ 51x+\cfrac{10000}{x}-1450 &x\ge 80\end{cases}\).
每千件的价格为\(1000\times 0.05=50\)(万元)，
每\(x\)千件的销售额为\(1000\times 0.05x=50x\)(万元)，
设年利润函数为\(y\)，
则\(y=f(x)=\begin{cases} 50x-(\cfrac{1}{3}x^2+10x)-250， &x<80 \\ 50x-(51x+\cfrac{10000}{x}-1450)-250 &x\ge 80\end{cases}\).
接下来在每一段上分别求函数的最大值，
当\(x<80\)时，\(f_1(x)= 50x-(\cfrac{1}{3}x^2+10x)-250=-\cfrac{1}{3}(x-60)^2+950\)， \(x<80\)，
故当\(x=60 \in (0，80)\)时，\([f_1(x)]_{max}=950\)(万元)
当\(x\ge 80\)时，\(f_2(x)= 50x-(51x+\cfrac{10000}{x}-1450)-250=1200-(x+\cfrac{10000}{x})\ge 1200-2\times 100=1000\)，
故当\(x=100 \in (80，+\infty)\)时，\([f_2(x)]_{max}=1000(万元)>[f_1(x)]_{max}=950\)(万元)，
故所获年利润的最大值\(1000\)万元。
备注：若某一段上的函数为三次多项式函数，可以利用导数求解其最大值；
解析：由题目得到生产成本为\(G(x)=\cfrac{1}{3}x^2+10x\)(\(x<80\))，每千件的价格为\(1000\times 0.05=50(万元)\)，每\(x\)千件的销售额为\(1000\times 0.05x=50x(万元)\)，设年利润函数为\(y\)，
则\(y=f(x)=50x-(\cfrac{1}{3}x^2+10x)-250\)，\(x<80\).
当\(x<80\)时，\(f(x)= 50x-(\cfrac{1}{3}x^2+10x)-250=-\cfrac{1}{3}(x-60)^2+950\)， \(x<80\)，
故当\(x=60 \in (0，80)\)时，\(f(x)_{max}=950\)(万元)
故所获年利润的最大值\(950\)万元。
〔审题分析〕：从题目的问题出发，题目求解“为获得最大利润”，我们一般是奔着利润而去，先建立利润函数模型，然后求解此函数的最大值，那么总利润又应该如何求解呢？利润=单件利润\(\times\)销售量，如果人们令销售价为\(x\)元/瓶，则单件利润为\((x-3)\)元，销售量的刻画比较复杂，它是动态变化的量，当\(x>4\)时，销售量应该是在\(400\)的基础上有所减少，减少的量为\(\cfrac{x-4}{0.5}\times40\)件，当\(x<4\)时，销售量应该是在\(400\)的基础上有所增加，增加的量为\(\cfrac{4-x}{0.5}\times40\)件，故销售量的表达式为\((400\)\(-\)\(\cfrac{x-4}{0.5}\)\(\times\)\(40)\)或者\((400\)\(+\)\(\cfrac{4-x}{0.5}\)\(\times\)\(40)\)，两个式子可以合二为一为\((400\)\(+\)\(\cfrac{4-x}{0.5}\)\(\times\)\(40)\)，故总的利润应该是\(y\)\(=\)\((x-3)\)\((400\)\(+\)\(\cfrac{4-x}{0.5}\)\(\times\)\(40)\)，并且定义域为\(x\geqslant3\)，接下来的任务就是求解这个函数的最大值，故解析如下：
〔解析〕：设销售价每瓶定为 \(x\) 元，利润为 \(y\) 元，
则 \(y=(x-3)\cdot\left(400+\cfrac{4-x}{0.5}\times 40\right)\)
\(=\)\(80(x-3)(9-x)\)\(=\)\(-80(x-6)^{2}+720\)(\(x\geqslant 3)\),
所以 \(x=6\) 时, \(y\) 取得最大值.
故销售价应该每瓶定为 \(6\) 元 .
〔审题分析〕：矩形的长为 \(x(m)\)， 面积为 \(200{m}^{2}\)，则可以得到矩形的宽为 \(\cfrac{200}{x}(m)\)， 四周安排\(2m\)宽的绿化，则中间区域长 \((x-4)m\)， 宽 \(\left(\cfrac{200}{x}-4\right)m\)， 由于要求总造价 \(y\) (元)关于 \(x(m)\) 的函数，故需表示出硬化面积的造价\(100 \times\left[(x-4)\left(\cfrac{200}{x}-4\right)\right]\)与绿化面积的造价\(200\times\left[200-(x-4)\left(\cfrac{200}{x}-4\right)\right]\)之和， 然后再求其最小值即可。
(1). 求总造价 \(y\) (元)关于长度 \(x(m)\) 的函数；
解： 由矩形的长为 \(x(m)\)， 则得到矩形的宽为 \(\cfrac{200}{x}(m)\)，
则中间区域的长为 \((x-4) (m)\)， 宽为 \(\left(\cfrac{200}{x}-4\right)(m)\)，定义域为 \(x\in(4,50)\)注意定义域的求解角度，令长\(x\)\(-\)\(4\)\(>\)\(0\)，且令宽\(\cfrac{200}{x}\)\(-\)\(4\)\(>\)\(0\)，求其交集得到\(4\)\(<\)\(x\)\(<\)\(50\)；；
则 \(y=100 \times\left[(x-4)\left(\cfrac{200}{x}-4\right)\right]+200\times\left[200-(x-4)\left(\cfrac{200}{x}-4\right)\right]\)
整理得 \(y=18400+400\left(x+\cfrac{200}{x}\right)\)， \(x\in(4,50)\)；
(2). 当 \(x(m)\) 取何值时， 总造价最低， 并求出最低总造价 .
解： 因为 \(x+\cfrac{200}{x}\geqslant 2\sqrt{x\cdot\cfrac{200}{x}}=20\sqrt{2}\)，
当且仅当 \(x=\cfrac{200}{x}\)， 即 \(x=10\sqrt{2}\in(4,50)\)时取等号，
所以当 \(x=10 \sqrt{2}\) 时, 总造价最低为 \((18400+8000\sqrt{2})\) 元.