欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 为变分法中的一条重要方程。它提供了求泛函的平稳值的一个方法。
中连续，并设泛函第一方程
。
若 使得泛函 J(y) 取得局部平稳值，则对于所有的
，
。
推广到多维的情况， 记
，
，
。
若 使得泛函
取得局部平稳值，则在区间
内对于所有的
，皆有
。
第二方程
设 ，及
在
中连续，若
使得泛函
取得局部平稳值，则存在一常数 C ，使得
。
例子
设 及
为直角坐标上的两个固定点，欲求连接两点之间的最短曲线。设
，并且
；
这里， 为连接两点之间的曲线。则曲线的弧长为
。
现设
，
，
取偏微分，则
，
，
- fx = fy = 0 。
若 y 使得 L(y) 取得局部平稳值，则 y 符合第一方程：
，
。
因此，
，
。
随 t 积分，
，
；
这里， 为常数。重新编排，
，
。
再积分，
- x(t) = rt + r' ，
- y(t) = st + s' 。
代入初始条件
，
；
即可解得 ，是连接两点的一条线段。
另经过其他的分析，可知此解为唯一解，并且该解使得 L(y) 取得极小值，所以在平面上连结两点间弧长最小的曲线为一直线。