① $a_1 + a_2 + \dots + a_n = r$ 的解数。
$a_i, r \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$
挡板法。$\binom{n + r - 1}{r}$
② $a_1 + a_2 + \dots + a_n \le r$ 的解数。
$a_i, r \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$
$a_1 + a_2 + \dots + a_n \le r$ 与 $a_1 + a_2 + \dots + a_n + a_{n + 1} = r$ 的解一一对应。
$\binom{n+r}{r}$
③ 错位排列数
满足递推 $d_n = (n - 1) (d_{n - 1} + d_{n - 2})$
$d_1 = 0$，$d_2 = 1$ 。
④ $a_1 + a_2 + \dots + a_n \le r$ 且 $a_i \le k$ 的解数。
容斥原理。
令集合 $A$ 表示所有满足 $a_1 + a_2 + \dots + a_n \le r$ 的序列的集合。
令集合 $A_i$ 表示满足 $a_1 + a_2 + \dots + a_n \le r$ 且 $a_i > k$ 的序列的集合。
对于 $T \sse \{1, 2, \dots, n\}$，定义 $A_T = \cap_{i \in T} A_i$，则 $|A_T| = \binom{n + r - |T|(k+1)}{r - |T|(k+1)}$。
根据容斥原理，答案是
$\sum_{T \in \{1, \dots, n\}} (-1)^{|T|} |A_T| = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}\binom{n + r - i(k+1)}{r - i(k+1)}$。