我也不知道为啥突然跑来写这个东西……
可能最近考太频繁？？权当攒RP了。
说的好像真的有人会看一样。
0/0：引言
主席树，全名可持久化线段树，由一位名叫黄嘉泰(hjt)的大神在考场上yy出来。
所谓可持久化线段树，就是可以查询历史更新信息的线段树。
假如我有一棵线段树，维护一个长度为n的序列，称为历史版本1。
随后我对它进行m次操作，使其发生变化称为历史版本2、历史版本3……历史版本n。
此时我要查询历史版本3中的某一个区间的信息，该怎么办？
重新建树？$n,m \leq 1e5$。啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊……
咦，那闪耀着救世主光辉的数据结构是……
当然是：主席树！
前置技能点：
- 动态开点线段树（不仅省空间，还可以进化成为主席树！）
- 前缀和思想（普遍的优化手段，静态区间查询的平民神器！）
0/1：思想
对于上面引言中提到的问题，我们考虑一个建树的过程。（以下仅考虑值域为8的情况）
最暴力的思想是，拿到一棵空线段树，我们分别建立它的历史版本以供最终查询。
建树过程如下：
1.在历史版本1中插入一个元素$3$
2.新建一棵树称为历史版本2，复制之前的树并插入一个元素$6$。
3.再新建一棵树，插入一个元素$8$
点数爆增有没有。
然后我们就发现，每插入一个单点的时候，整棵树的信息并非全部发生了变化。
那么新建一棵树就会放弃对这些信息的利用，浪费了空间。
主席树的实现正是基于利用这些信息来达成节省空间的目的。
下面是对于上面的问题的主席树建树方法：
1.新建一棵线段树并插入一个元素$3$，建树操作同暴力建树第一步。
2.插入一个元素$6$。
3.插入一个元素$8$。
每建立一棵树都会利用历史版本中没有被改变的那一部分
空间复杂度明显下降是了吧。
0/2：代码实现（这里是一些基本操作$OvO$）
我自己手里好像还真没有啥能拿出手的板子……
建树操作：（在某历史版本的主席树上插入一个权值为$val$的元素）
传参：当前节点k、当前节点维护的值域区间左右端点、要继承的历史版本节点his、插入的值val
首先要新建节点。递归到当前层说明这一层一定被改变了。所以直接新建无需判定。
将左儿子和右儿子都先附成历史版本节点的左右儿子节点。有更改会在下一层递归新建并更改。
然后改变当前节点信息。随后继续递归向下插入即可。
inline void insert(int &k,int l,int r,int his,int val) { k=++type; ls[k]=ls[his]; rs[k]=rs[his]; sum[k]=sum[his]+1; if(l==r)return ; int mid=l+r>>1; if(val<=mid)insert(ls[k],l,mid,ls[his],val); else insert(rs[k],mid+1,r,rs[his],val); }
查询操作：（查询第k小值）
传参：查询区间左右端点的主席树当前节点编号、当前维护的值域区间左右端点、查询的权值
将查询的权值与当前搜索到的值域中点相比较，
若$val \leq mid$则向左继续查询第$val$小的值，
否则向右查询第$val-cnt$小的值。（$cnt$为主席树当前节点右儿子的大小）
int query(int k1,int k2,int l,int r,int val) { if(l==r)return l; int mid=l+r>>1; int cnt=sum[ls[k2]]-sum[ls[k1]]; if(val<=cnt)return query(ls[k1],ls[k2],l,mid,val); else return query(rs[k1],rs[k2],mid+1,r,val-cnt); }
#include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int N=100005; int type,n,m,side; int sum[N*20],root[N*20],ls[N*20],rs[N*20]; int a[N],b[N]; inline int read() { int f=1,x=0;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } void build(int &k,int l,int r) { k=++type; sum[k]=0; if(l==r)return ; int mid=l+r>>1; build(ls[k],l,mid); build(rs[k],mid+1,r); } void update(int &k,int l,int r,int time,int val) { k=++type; ls[k]=ls[time]; rs[k]=rs[time]; sum[k]=sum[time]+1; if(l==r)return ; int mid=l+r>>1; if(val<=mid)update(ls[k],l,mid,ls[time],val); else update(rs[k],mid+1,r,rs[time],val); } int query(int k1,int k2,int l,int r,int val) { if(l==r)return l; int mid=l+r>>1; int cnt=sum[ls[k2]]-sum[ls[k1]]; if(val<=cnt)return query(ls[k1],ls[k2],l,mid,val); else return query(rs[k1],rs[k2],mid+1,r,val-cnt); } void work() { int l=read(),r=read(),val=read(); int ans=query(root[l-1],root[r],1,side,val); printf("%d\n",b[ans]); } int main() { n=read();m=read(); for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),b[i]=a[i]; sort(b+1,b+n+1); side=unique(b+1,b+n+1)-b-1; build(root[0],1,side); for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(b+1,b+side+1,a[i])-b; for(int i=1;i<=n;i++)update(root[i],1,side,root[i-1],a[i]); while(m--)work(); return 0; }