1. 利用状态方程求传递函数公式
状态方程为\(G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)} = C(sI-A)^{-1}B+D\)
例1：\(m-c-k\)系统，求\(m\overset{··}{x}+c\overset{·}{x}+kx=f\)传递函数。
解：
令\(x_1 = x\)，\(x_2=\overset{·}{x}\)则有：
\[\begin{cases}
\overset{·}{x_1}=x_2\\
\overset{·}{x_2}=\dfrac{1}{m}[-c x_2-k x_1]+\dfrac{f}{m}
\end{cases}\]
根据状态方程的向量表达式和输出方程的向量表达式
\[\begin{cases}
\overset{·}{X} = AX+Bf \\
Y = CX+Df
\end{cases}\]
可以得到：
\[A=\left[\begin{matrix}
0 & 1\\
-\dfrac{k}{m}& -\dfrac{c}{m}
\end{matrix}\right]\qquad B = \left[\begin{matrix}
0\\
\dfrac{1}{m}
\end{matrix}\right]\qquad C=\left[ \begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]\qquad D = 0 \qquad X = \left[\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right]
\]
所以
\[(sI-A)^{-1} = \left[\begin{matrix}
s&-1\\
\dfrac{k}{m}&s+\dfrac{c}{m}
\end{matrix}\right]^{-1}=\dfrac{1}{\left|\begin{matrix}
s&-1\\
\dfrac{k}{m}&s+\dfrac{c}{m}
\end{matrix}\right|}\left[\begin{matrix}
s+\dfrac{c}{m}&1\\
-\dfrac{k}{m}&s
\end{matrix}\right]
\]
可以得到
\[G(s)=\dfrac{1}{s^2+\dfrac{c}{m}s+\dfrac{k}{m}}\left[\begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
s+\dfrac{c}{m}&1\\
-\dfrac{k}{m}&s
\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}
0\\
\dfrac{1}{m}
\end{matrix}\right]=\dfrac{1}{ms^2+cs+k}
\]
2. 反馈控制
2.1 状态反馈控制器设计
控制律为\(u = -KX + v\)
将控制律带入状态方程可以得到，闭环系统\(\begin{cases}
\overset{·}{X}=(A-BK)X+Bv\\
Y = CX
\end{cases}\)
传递函数为\(G_K(s)=C(sI-A+BK)^{-1}B\)
例2：\(\overset{··}{x}=\overset{·}{x}+x+u\)，如何设计\(u\)，使得\(x \rarr x_d\quad(t\rarr\infty)\)，\(x_d\)为常数。
解：
输入是\(u\)，特征方程为\(s^2-s-1=0\)
可以看出该系统开环不稳定，因为有一个根在右半平面，可以设计\(u=-2\overset{·}{x}-2x+x_d\)
代入上述系统，可得\(\overset{··}{x}+\overset{·}{x}+x=x_d\)
对于此时的闭环系统，输入是\(x_d\)，特征方程为\(s^2+s+1=0\)，该方程两根为负，闭环稳定。
如果利用状态方程的方法，那么可以令\(x_1 = x\)，\(x_2=\overset{·}{x}\)，可以得到
\[\begin{cases}
\overset{·}{x_1}=x_2\\
\overset{·}{x_2}=x_1+x_2+u
\end{cases}\]
那么可以得到：
\[A=\left[\begin{matrix}
0 & 1\\
1&1
\end{matrix}\right]\qquad B = \left[\begin{matrix}
0\\
1
\end{matrix}\right]\qquad C=\left[ \begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]\qquad D = 0 \qquad X = \left[\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right]
\]
控制律为\(u = -KX + x_d\)，其中\(K=[k_1, k_2]\)，那么
\[\begin{aligned}
(sI-A+BK)^{-1} &= \left( \left[ \begin{matrix}
s&0\\
0&s
\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}
0 & 1\\
1&1
\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}
0\\
1
\end{matrix}\right][k_1, k_2]\right)^{-1}\\
&=\left[ \begin{matrix}
s&-1\\
-1+k_1&s-1+k_2
\end{matrix}\right]^{-1}\\
&=\dfrac{1}{s^2+(k_2-1)s+k_1-1}\left[\begin{matrix}
s-1+k_2&1\\
1-k_1&s
\end{matrix}\right]
\end{aligned}
\]
传递函数为
\[\begin{aligned}
G_k(s)&=C(sI-A+BK)^{-1}B\\
&=\dfrac{1}{s^2+(k_2-1)s+k_1-1}\left[ \begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
s-1+k_2&1\\
1-k_1&s
\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}
0\\
1
\end{matrix}\right]\\
&=\dfrac{1}{s^2+(k_2-1)s+k_1-1}
\end{aligned}
\]
如果令\(k_1=k_2=2\)，那么得到的特征方程为\(s^2+s+1=0\)，与上面开始做的一样。
下图为状态反馈系统结构图
2.2 输出反馈控制器设计
控制律为\(u = -HY + v\)
将控制律带入状态方程可以得到，闭环系统\(\begin{cases}
\overset{·}{X}=(A-BHC)X+Bv\\
Y = CX
\end{cases}\)
传递函数为\(G_H(s)=C(sI-A+BHC)^{-1}B\)
输出反馈可看作状态反馈的特例，比如当y=x时，C=1。
下面是输出反馈系统结构图
3. 反馈线性化
例3：\(\overset{··}{x}=\overset{·}{x}\ ^2+x+u\)，如何设计\(u\)，使得\(x\rarr x_d\quad(t\rarr \infty)\)，其中\(x_d\)为常数。
设计 \(u=-\overset{·}{x}\ ^2-x+v\)
代入系统 \(\overset{··}{x}=\overset{·}{x}\ ^2+x+u\)
可以去掉非线性项，得到\(\overset{··}{x}=v\)
上面的方程已经完成线性化，但是开环不稳定。利用反馈控制的方法，设计：\(v=-\overset{·}{x}-x+x_d\)
得到闭环稳定的系统：\(\overset{··}{x}+\overset{·}{x}+x=x_d\)
我们可以写出闭环系统的跟踪误差方程。令\(\epsilon=x-x_d\)，则系统可以转化为
\[\overset{··}{\epsilon}+\overset{·}{\epsilon}+\epsilon=0
\]
该方程有两个复根，可以描述成\(s_{1,2}=\alpha\plusmn\beta i\)的形式，其中\(\alpha<0\)
解可以表示为：\(\epsilon_{1,2}=e^{\alpha t}(c_1cos\beta t\plusmn c_2isin\beta t)\)
可以得出分析出\(\epsilon_{1,2}\rarr0\)，说明该系统稳定。