关于方程x^2+y^2=p (p为素数)的解问题

问题描述：对于方程，其中为素数，x，y为整数，且，输出符合条件的x，y。

 

分析：对于本方程，我们通过费马平方和定理知道，只有奇素数p满足这个条件时才有解。

 

那么当此方程有解时，解有几个呢？很明显不可能存在解满足x等于y的情况，那么不妨设，那么本方程解唯一。

 

 

现在我们就来求满足此条件的x，y，方法分为两步：

 

(1)先找出同余方程的最小正整数解。（关于这个问题我的上一篇文章已经做了细致的分析）

 

(2)对和进行欧几里德辗转相除运算，记每次的余数为，当满足条件时停止运算，此时的就是x

 

这样就得到了x，那么y可以通过得到，问题解决。

 

或者这样看着不爽，因为有开根号，那么我们可以发现其实这里的y就是在辗转相除的时候把中所有的q累加起来

的结果。 本方法是目前为止发现解此问题最快的方法。

 

假设已经求出了，那么如下代码就是求x，y的：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

void Solve(LL a,LL b)
{
    LL r=a%b,t=a;
    LL ans=a/b;
    while(r*r>=t)
    {
        a=b;
        b=r;
        r=a%b;
        ans+=a/b;
    }
    if(r>ans) swap(r,ans);
    cout<<r<<" "<<ans<<endl;
}

int main()
{
    LL p,x0;
    while(cin>>p>>x0)
    {
        Solve(p,x0);
    }
    return 0;
}